Cтраница 2
С натискане на клавишите А, В, С и D в произволен ред разбъркваме 9-те квадратчета от фигурата, а задачата е след гова да възстановим симетрич-ното изходно положение. [16]
Ако разрешавахме всички правила за движение по граф, щяха да се появят нови циклични движения, да речем 2, 6, 10, 11, 7, 3, 2 и др., конто биха направили задачата по-лесна. [17]
Задачата е с последова-телни въртения на двата кръга на ъгли, кратни на 90, да се подредят лу-ничките в избрано стандартно положение. Принципно тази игра не се раз-личава от играта две четворки. [18]
Подреждане на втория вариант на играта светещите прозорци. Задачата е чрез допустимите действия от първия вариант пулчетата да се обърнат с бялото си лице нагоре, като освен това всяко от тях застане в клетката, носеща неговия номер. [19]
Шестте му сте-ни са боядисани в шест различии цвя-та ( обикновено се използуват цветни лепенки); при завъртване на няколко от слоевете те се разбъркват и кубът става пъстър. Задачата е с подходяща серия от въртене на слоевете му кубът да се върне в първоначалното си положение, при което всяка от стените е едноцветна. [20]
Той се различава от описания ( фиг. Задачата сега е не само да се подредят луничките с номера от 1 до 11, както е показано на фигурата, но и те да се ориентират така, че номера-та на криволинейните им страни да съответствуват на номерата на луничките. Да наречем този вариант на играта централен б-цикъл. [21]
Главоблъсканиците са особена категория игри, при конто играчът е един, а иегов противник е самата игра, или по-точно логическата задача, която тази игра поставя. Обикно-вено формулировката на задачата е проста, но често иейното решение е иеочакваио трудно и изправя човешкия интелект пред изпитание. Това прави игрите от този род привлека-телни, а когато пътят кьм тяхното решение неусетно води към нетривиална математика - и особено полезни. [22]
Лесно се вижда, че това е свързана система от 9 допиращи се цикъла и всичките са четни пермутации, следователно групата е Л15 и затова игра-та 75 може да се нарежда само когато пулчетата са разбъркани в четна пер-мутация. Оттук в частност следва не-решимостта на задачата на Лойд. [23]
Тази игра принциптю не се различава от играта 75, но благодарение на една незабележима на пръв поглед особеност подреждането на пулчетата е възможно при произвол-но начално разбъркване. В този смисъл пулчетата с цифрите 6 и 9 са еднакви и точно това прави задачата винаги решима. Сле-дователно, ако Лойд беше предложил 1000 долара за такава форма на своя-та задача, то някой сигурно би се се-тил да завърти наопаки 6 и 9, когато се налага. [24]
Подреждаме пулчетата, както е показано на фиг. Задачата е да се на-мери редица от ходове, конто да поставят 14 и 15 на местата им. [25]
От двете игри можем да съ-ставим нова игра R, която ще наречем успоредна композиция на Ри Q: задачата е да подредим успоредно Р и Q, при което след вески ход от играта Р прилагаме едноименния ход от играта Q. Можем да си мислим, че Р и Q се подреждат от двама играчи, конто обаче действуват синхронно по един и същ начин. Задачата е решена, когато след определен брой успоред-ни ходове и двете игри са подредени. Нека например Р е играта 10 триьгьл-ника, a Q е розетката централен 6-ци-къл. Не е трудно да се види, че тяхната успоредна композиция R е играта ма-гическите шестоъгълници, която раз-гледахме преди малко. Вече отбеля-захме, че групата G ( R) е подгрупа на декартовото произведение G ( P) x G ( Q) на групите, съответни на Р и Q. В об-щия случай това също е така. И наис-тина нека X е множеството, върху кое-то действува G ( P), а У е множеството, върху което действува G ( Q), като из-бираме А и У да нямат общи елемен-ти. Тогава при успоредната игра преобразува-нията AI, AI... А пораждат върху Z пермутациите спор, х2 Рз, -, а р и G ( R) се поражда от тях. [26]
А сега да разгледаме варианта на играта 75, в който вместо числа върху пулчетата са написани последовател-но буквите на думата главобльсканица, като до последното А е поставена точка ( фиг. При подреждането на пулчетата обикновено лесно се стига или до пълното решение, или до раз-положение, при което двете последни букви ( Ц и А. Ако се случи второто, задачата е да се намери редица от ходове, с която А. Например можем да разместим останалите две букви А ( в първия и третия ред) или пък двете Л - та. По-долу предла-гаме едно решение с 32 хода. Читате-лят може сам да потърси други решения дори с по-малък брой хрдове. В записа на решението там, където мо-гат да се преместят две пулчета с ед-накви букви, със стрелка сме посочили посоката на движение на пулчето, кое-то е на ход. [27]
През 1879 г. математиците Джон-сън и Стори публикували математиче-ско изследване на главоблъсканицата и от него по-специално следва, че за-дачата, за която Лойд предлагал награда, е нерешима. По-точно, оказало се, че всички възможни разбърквания на плочките в кутийката се разделят на два класа; тогава, ако стандартно-то подреждане на числата ( фиг. Било доказано, че за произ-волни две разположения от един и съ-щи клас съществува редица от ходове на плочките, коят о превръща едното в другото, докато за две разположения от различии класове такава редица не съществува, което доказва и не-решимостта на задачата на Лойд. [28]
Допустими ходове за преобразуване на този правоъгъл-ник са следните: повдигаме едновре-менно цял ред от 4 кубчета, завърта-ме го около оста му на четвърт или на половин оборот в едната или в дру-гата посока и го връщаме пак на мяс-тото му. При тази операция взаимно-то положение на 4-те кубчета не тряб-ва да се изменя. Аналогични преоб-разувания можем да правим и със стълбовете от по 3 кубчета. Задачата е следната: само с допустими ходове да преобразуваме правоъгълника така, че цялата му горна страна да бъде оцветена в предварително избрания от нас цвят. [29]
Така можем да си представим уст-ройството на играчката по следния начин. Това позволя-ва да извършваме ротации на всеки две половинки, конто се допират по някое квадратно сечение. При въртене на 90 тетраедърып загубва своята форма както при предишните две гла-воблъсканици. Задачата е чрез подходящи ротации да се възстанови първо-началната му форма, като всяка стена е едноцветна. [30]