Cтраница 3
Любая числовая функция f ( k), обладающая этими свойствами, называется автоморфизмом поля R вещественных чисел. [31]
Вообще, можно получить целое семейство коллинеаций плоскости, составляя композиции линейных отображений с отображениями, индуцированными автоморфизмами поля. Однако мы не можем быть уверенными в том, что каждая коллинеация плоскости получается таким путем. [32]
Нам достаточно доказать, что точка h - l ( x) инвариантна относительно подгруппы конечного индекса группы всех автоморфизмов поля С. Так как h - l ( x) есть образ G-орбиты на [ 7, то наше утверждение будет доказано, если проверить, что эта орбита сохраняется подгруппой конечного индекса группы AutC. Xa, cr G AutC имеется лишь конечное число неизоморфных. [33]
Наоборот, если задан такой изоморфизм а - р ( г) г руппы Галуа K / k в группу автоморфизмов поля К ( х у), что а р ( г) на К, то подполе функций из К ( х у), инвариантных относительно всех у. [34]
Поскольку дискриминант D не делится на р, отсюда следует равенство т ( 0) 0, означающее, что т есть тождественный автоморфизм поля L, вопреки условию следствия. Значит, все требования теоремы 1, связанные с результантами, выполнены. [35]
На протяжении всего параграфа мы будем предполагать, что выполнены условия предложения 1 § 1, которые гарантируют, что группа ( 9 автоморфизмов поля K ( G) совпадает с пополнением & группы Г рациональных элементов группы Г GZ по топологии, индуцированной подгруппами группы Г конечного индекса. [36]
Пусть, в частности, F - промежуточное поле, kcFcK и X: F - - KF - вложение F в К, предполагаемое продолженным до автоморфизма поля К - Тогда КК - К. [37]
Это означает, что действие коллинеации ш на точки А ( а, О, 1) прямой х совпадает с действием ( на элементы а) некоторого автоморфизма координатного поля К. Итак, действие коллинеации со, оставляющей неподвижными точки О, X, Y и Е, на прямую х совпадает с действием на эту прямую коллинеации, индуцированной автоморфизмом в координатного поля К. [38]
То что здесь было сказано, представляет как раз реализацию первой гипотезы Эйнштейна в инвариантно-групповой формулировке, не зависящей от выбора системы координат, так как группы Ли движений не меняют поля гравитации, они фиксируют автоморфизмы поля. [39]
Используя задачу 49.36, показать, что / сохраняет параллельность прямых; определить отображение Df: V - V по формуле Df ( ab) f ( a) f ( b) и показать, что f ( x у) f ( x) / ( г /); из условия Df ( av) 0 ( cx) Df ( v), где v - некоторый вектор из У, определить отображение сг: К - К, показать, что оно не зависит от г и является автоморфизмом поля К. [40]
Наличие такого действия является совершенно неожиданным. Ведь все автоморфизмы поля Q ( кроме комплексного сопряжения) делаются очень разрывными при переходе к комп-лзксиому полю. [41]
Позже в этой книге будет доказано, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля С. Имеется и еще много автоморфизмов, но уже не непрерывных. Мы рассмотрим другие возможные автоморфизмы в главе о трансцендентных расширениях. Подполе поля С, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, есть алгебраическое замыкание Q поля Q. [42]
Вычислим теперь Inv ( g ( F)), где g - произвольный автоморфизм из G. Таким образом, всякий автоморфизм поля L в этом случае индуцирует автоморфизм поля F, причем легко проверить, что g и h индуцируют один и тот же автоморфизм F тогда и только тогда, когда они лежат в одном классе смежности по Inv F. Всего мы получаем ( G: Inv F) автоморфизмов F над К. [43]
Группа ( 9 всех автоморфизмов поля К ( Г) совпадает с пополнением & группы Г по топологии, индуцированной подгруппами группы Г конечного индекса, если выполняется одно из следующих трех предположений: 1) фактор-пространство D / Y компактно; 2) D - единичный круг и фактор-пространство D / Г имеет конечный объем; 3) D - симметрическая область, Г - арифметическая группа, для которой выполняется условие А) ( см. § 8, стр. [44]
Для того, чтобы его найти, обозначим через т изоморфизм поля & в поле вещественных чисел, соответствующий дивизору Ре. Наконец, через г обозначим автоморфизм поля С, переводящий любое число в комплексно сопряженное. [45]