Cтраница 2
Из неравенств (5.4.13) видно, что несимметричным формам потери устойчивости соответствуют более высокие критические усилия. Следовательно, потеря устойчивости упругой трансверсально изотропной круговой пластинки происходит по осесимметричной форме, что согласуется с классическим результатом ( см., например, [85]) о форме потери устойчивости в этой задаче. [16]
Большой практический интерес представляют задачи о колебаниях густо перфорированных круговых пластинок. В работе А. В. Осинцова, В. П. Щепинова и В. В. Яковлева [18] приводятся результаты определения форм колебаний перфорированных круговых пластинок диаметром 0 12 м и толщиной 0 0015 м, изготовленных из алюминиевого сплава Д16Т, Опытные образцы изготавливались совместно с жесткими фланцами, обеспечивающими в экспериментах условия жесткого защемления. [17]
Кг Известно [71 ], что при больших значениях аргумента эти функции ведут себя подобно экспоненциальным функциям положительного и отрицательного аргументов соответственно. Ясно, что ими описываются краевые эффекты напряженно-деформированного состояния, связанные с учетом поперечных сдвигов, и, следовательно, в задаче осесимметричного изгиба круговой пластинки они играют ту же роль, какую играли экспоненциальные решения в задачах цилиндрического изгиба длинных прямоугольных пластин и панелей. [18]
Большой интерес представляют задачи, относящиеся к механике неоднородных структур. В ней с использованием аппарата теории возмущений и теории групп рассмотрено влияние неоднородностей в виде трещин, сколов, раковин и анизотропии упругости на характер изменения спектра собственных частот колебаний круговых пластинок. Показано, что вследствие понижения степени симметрии, обусловленной неоднородностями, происходит расщепление резонансных пиков для собственных частот колебаний, соответствующих выраженным собственным значениям. Это обстоятельство приводит к появлению дополнительных по сравнению с однородными пластинками резонансных частот колебаний. В работе получены расчетные соотношения, связывающие параметры изменения спектра собственных частот колебаний с параметрами, определяющими неодно -, родности. [19]
Для удовлетворения граничным условиям на разных участках пластинки функции крмплексной переменной выбираются в зависимости от того, являются ли края пластинки внешними или внутренними. При применении метода Фурье для внешних краев прямоугольной пластинки соответствующие функции комплексных переменных будут sin а ( я и /) и cos а ( х iy), где а - действительное число, удовлетворяющее краевым условиям задачи на границе у const, а а - мнимое число, справедливое на х const. Для внешнего контура круговой пластинки при r const используется ( z) и ( z) n, где г re, a n равно нулю или некоторому положительному целому числу. Для внешнего контура пластинок других форм, включая пластинки произвольной формы, можно использовать либо специальные криволинейные координаты, или же подходящие прямоугольные либо полярные координаты. [20]
Рассмотрим шарнирное опирание края пластинки. Для этого случая, так же как и для предыдущего, предположим, что линии равного перемещения образуют семейство подобных концентрических эллипсов, начинающихся от внешней границы как от одной из этих линий. Здесь необходимо отметить, что для случая круговой пластинки необходимости в таком предположении нет. Дифференциальное уравнение ( 20) и его решение ( 33) для смещенной поверхности пластинки, как и в предыдущем случае, остается без изменений, и только геометрические граничные условия ( 31) необходимо представить несколько иначе. [21]
В работе [26] изложен упрощенный приближенный метод решения задач о колебаниях двусвязных пластинок произвольной формы. В дальнейшем этот метод использован автором [27] для изучения поведения двусвязных пластинок различной геометрии. Вычисления были выполнены для нескольких примеров: кольцеобразной эллиптической пластинки, круговой пластинки с эллиптическим вырезом, квадратной пластинки с эллиптическим вырезом. [22]
В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. [23]
В этой главе рассмотрены слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Первые два ее параграфа посвящены исследованию изгиба, а третий, четвертый и пятый - исследованию устойчивости таких пластинок. Сформулированы соответствующие разрешающие уравнения и в качестве примера их использования даны решения задач изгиба и устойчивости круговой пластинки. Выполнено сравнение этих решений с решениями, найденными на основе некоторых других вариантов уравнений теории слоистых пластин ( см. параграф 3.7) и на основе уравнений трехмерной теории устойчивости, что позволило оценить влияние поперечных сдвигов и обжатия нормали на характеристики напряженно-деформированного состояния пластинки и критические параметры ее устойчивости, уточнить границы применимости прикладных теорий. [24]
В статье изложен приближенный метод определения собственных частот колебаний защемленных и шарнирно опертых пластинок произвольного очертания. Для сравнения и подтверждения эффективности предлагаемого метода результаты предыдущих работ приведены в двух таблицах. Интересно отметить, что, как видно из таблиц, при а b результаты настоящего исследования для обоих случаев 1 и 2 совпадают с точными решениями для соответствующих круговых пластинок. [25]
Так, в работе [31] - приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок. В результате проведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. [26]
В пятой главе описаны слоистые упругие трансверсально изотропные пластинки, имеющие симметричное относительно срединной плоскости строение пакета слоев. Найден широкий класс решений этих уравнений, что позволило, в частности, решить задачу изгиба круговой пластинки, несущей поперечную нагрузку. В качестве примера рассмотрена задача осесимметричного деформирования круговой пластинки. Выполненное исследование, включающее в себя вычисление разрушающей, интенсивности нагрузки, определение механизма возникновения разрушения и определение зоны его инициирования, выявило принципиальную необходимость учета влияния поперечных сдвиговых деформаций на расчетные характеристики напряженно-деформированного состояния для пластин с существенно различными жесткостями слоев. Решена задача устойчивости пластинки, нагруженной силами, действующими в ее плоскости. Составлены общие уравнения устойчивости и подробно исследован тот случай, когда тензор докритических усилий круговой. Для этого случая найден широкий класс решений уравнений устойчивости. В качестве примера дано решение задачи устойчивости круговой пластинки, нагруженной равномерно распределенным по контуру сжимающим радиальным усилием. Эта же задача решена еще и на основе других неклассических уравнений, приведенных в третьей главе, а также на основе уравнений трехмерной теории устойчивости. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило указать границы применимости рассматриваемых уточненных теорий, оценить характер и степень влияния поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали на критические интенсивности сжимающего усилия. [27]
Можно выделить два основных подхода к определению физико-механических свойств композита - феноменологический и структурный. В рамках первого из них армированные материалы рассматриваются как однородные среды с анизотропными свойствами. Связь между напряженным и деформированным состояниями представляется на основе уравнений теории анизотропных сред. Остающиеся неизвестными параметры уравнений состояния определяются путем механических испытаний образцов из композитного материала. Следует отметить, что армированный материал, как правило, создается вместе с конструкцией, и даже для конструкций относительно простой геометрии его физико-механические характеристики могут оказаться переменными. С этим обстоятельством, выявляющимся, например, при рассмотрении круговой пластинки, армированной вдоль радиальных линий волокнами постоянного сечения, связаны дополнительные трудности в реализации такой программы экспериментов. Отметим также, что в рамках феноменологического подхода остается невскрытой связь между средними напряжениями и деформациями композитного материала и истинными напряжениями и деформациями составляющих его компонентов. Это не позволяет ставить и решать задачи оптимального проектирования композитных оболочеч-ных конструкций. [28]
В [28] изложены результаты определения собственных частот колебаний двусвязных пластинок со сложной формой границы. Задача сводится к рассмотрению круговой пластинки с центральным круговым вырезом. Метод основан на построении функции координат, удовлетворяющей граничным условиям. Для получения уравнения для нахождения собственных частот колебаний использован вариационный метод, а далее метод. Бубнова и конформных преобразований. В работе, [29] изложен приближенный способ нахождения низшей собственной частоты поперечных колебаний круговой пластинки с эксцентрическим вырезом аналогичной формы. Этот способ основан на методе Ритца. В [30] предложены результаты сравнительного числового анализа по определению. Данные конечно-элементного анализа сравниваются со значениями, полученными с помощью приближенного вариационного метода, основанного на выборе соответствующих аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям. Полученные результаты хорошо согласуются с данными, опубликованными ранее. [29]
В статье разработан приближенный метод определения основных частот собственных колебаний пластинок со свободными круговыми вырезами. Внешняя граница пластинок предполагается незначительно отличающейся от круговой. Приближенные выражения для радиусов каждой ограничивающей кривой выражены через ряды Фурье. Граничные условия, записанные модифицированными рядами для формы кругового кольца, удовлетворяются приближенным образом на внутреннем и внешнем краях пластинки. Приближенное характеристическое уравнение ( либо первого, либо второго порядка аппроксимации) получается в результате удовлетворения граничным условиям, а основная частота колебаний определяется как первый корень соответствующего характеристического уравнения. Для демонстрации решения, основанного на аппроксимации второго порядка, определены приближенные частоты основной формы колебаний защемленной эллиптической пластинки, квадратной пластинки с круговым вырезом и, круговой пластинки с эксцентрическим круговым вырезом. Для последней также получено решение, основанное на аппроксимации первого порядка для основной формы колебаний. [30]