Cтраница 3
Пусть Л - целочисленная ( п X л) - матрица с определителем 1 или - 1, собственные значения которой не лежат на единичной окружности. Тогда Л индуцирует диффеоморфизм А n - мерного тора Тте. Отображение Л называется гиперболическим автоморфизмом тора. [31]
Желательно иметь разнообразные примеры таких систем. Для дискретного времени обширный запас примеров доставляют получающиеся алгебраическим путем гиперболические автоморфизмы инфранильмногообразий, о которых говорится в настоящем сборнике. [32]
Наиболее важное направление исследований в 60 - 70 гг. было связано с вычислениями и явными формулами для энтропии классических и. Эта тема почти не отражена в книге Мартина и Ингленда. Первое замечание было сделано А. Г. Кушниренко [1965], показавшим, что энтропия гладкой динамической системы с гладким интегральным инвариантом конечна. К тому времени в серии работ Синая, Рохлина, Арова, Юзвинского был завершен подсчет энтропии алгебраических автоморфизмов компактных групп. Пусть Т - n - мерный тор, А - его алгебраический автоморфизм, тогда энтропия этого автоморфизма как преобразования Т с инвариантной нормированной мерой Хаара равна 2 1п Я / 1, где сумма берется по всем собственным числам автоморфизма А, превосходящим по абсолютной величине единицу. Отсюда следует, что энтропия положительна для всякого гиперболического автоморфизма тора. [33]