Cтраница 3
Любой автоморфизм Т пространства Лебега X с мерой [ х может быть получен как предел периодич. Сп qn, которые автоморфизм Тп переводит друг в друга. [31]
Подгруппу К некоторой группы Ли G назовем максимальной компактной подгруппой в G, если К компактна и не содержится ни в какой строго большей компактной подгруппе группы G. Любой автоморфизм группы G переставляет ее максимальные компактные подгруппы. [32]
Поэтому любой автоморфизм А ( М) автоматически определяет автоморфизмы всех этих объектов. [33]
Поскольку любой автоморфизм графа сохраняет и смежность, и несмежность, то сразу же получаем следующий очевидный, но важный результат. [34]
Следовательно, Ф 0 тогда и только тогда, когда G не содержит максимальных подгрупп. Так как любой автоморфизм группы О переставляет максимальные подгруппы между собой, то ясно, что подгруппа Фраттини является характеристической подгруппой. [35]
Обратно, любой автоморфизм группы G переводит а в некоторую образующую О. [36]
Тогда группа неподвижных элементов любого автоморфизма F также имеет конечный ранг. [37]
Ясно, что каждое из этих отображений определяет автоморфизм группы FT, так как оно переводит множество X в множество из г элементов, которые снова порождают группу Fr. Мы должны показать, что любой автоморфизм группы FT является произведением автоморфизмов, указанных в формулировке теоремы. [38]
Будем записывать операцию в группе А аддитивно. Как следует из задачи 1.2.26, любой автоморфизм векторной группы А является линейным преобразованием этой группы. [39]
Отметим, что для поля R вместо С такое рассуждение не проходит, так как это поле не имеет нетривиальных автоморфизмов. Отношение порядка выразимо: положительные числа суть квадраты, поэтому любой автоморфизм сохраняет порядок. Поскольку автоморфизм оставляет на месте все рациональные числа, он должен быть тождественным. [40]
Пусть у связного графа G существует автоморфизм, не имеющий неподвижных вершин. Тогда граф G содержит единственный блок, вершины которого при любом автоморфизме графа G переставляются только между собой. [41]
Sm - з содержат три не лежащие на одной прямой точки а, Ь, с и поэтому сливаются в одну плоскость. S совпадает либо с тождественным отображением /, либо с отражением S, откуда еще раз следует, что любой автоморфизм можно представить в виде произведения не более четырех отражений. [42]
Хорошо известно, что любой автоморфизм группы S3 является внутренним. Этот факт вытекает из теории классификации связных компактных групп Ли, но мы наметим прямое доказательство. Любой автоморфизм Ф переставляет однопараметрические подгруппы в S3 и, так как все они есть окружности, то имеется естественная метрика, сохраняемая автоморфизмом ср. Отсюда следует, что на касательном пространстве к S3 в единице автоморфизм ф индуцирует ортогональное отображение. [43]
Пусть 3 - центр алгебры il ( L), т.е. множество элементов, коммутирующих со всеми элементами x.ii ( L) или, что равносильно, со всеми x L. Любой автоморфизм о: L - L продолжается единственным образом до автоморфизма алгебры il ( L); в частности, G Int L действует на U ( L), отображая 3 на себя. [44]
Окончательный вывод: автоморфизмы плоскости образуют группу. Ту же группу образуют произведи ния отражений. Любой автоморфизм допускает пред ставление в виде произведения О, 1, 2 или 3 отражу ний. [45]