Cтраница 4
Итак, автоморфизмы пространства образуют груп пу. Ту же группу образуют произведения отражений. Любой автоморфизм допускает представление в виде произведения не более чем четырех отражений. [46]
ТЕОРЕМА 6.6. Пусть R - кольцо с вполне обращающим R - me - лом / С, так что К автоматически является универсальным R - me - лом. Тогда любой честный эндоморфизм кольца R продолжается до единственного эндоморфизма тела К. В частности, любой автоморфизм R продолжается до единственного автоморфизма тела К. [47]
Тождественное отображение 5, очевидно, является единицей для автоморфизмов. По лемме 1 композиция двух автоморфизмов является автоморфизмом. По лемме 2 обратное отображение к любому автоморфизму является автоморфизмом. [48]
Тогда внутренний автоморфизм a ( g) является полупростым, так что подгруппа Z ( g) Ga ( e редуктивна. Элемент g называется регулярным, если J / Z ( g), и сингулярным в противном случае. Очевидно, регулярность ( или сингулярность) элемента сохраняется при применении любого автоморфизма группы G. В частности, два сопряженных полупростых элемента группы G регулярны или сингулярны одновременно. [49]