Cтраница 2
Предположим, что мы имеем абелеву группу О коллинеаций плоскости тс порядка п, являющуюся транзитивной и регулярной на N точках плоскости тс. [16]
В 1900 году Тарри [1] методом проб п ошибок показал, что плоскости порядка 6 не существует. [17]
Стороны этого треугольника имеют разные длины; следовательно, А можно рассматривать как прямую плоскости порядка 2, задаваемую многоугольником А. [18]
Доказать, что плоскость Галуа порядка 9 не содержит четырехугольников Фано, в то время как плоскость порядка 9, определяемая таблицей Г, содержит как обычные четырехугольники, так и четырехугольники Фано; найти по таблице Г примеры тех и других. [19]
Теперь становится очевидно, что Dz q и St q - две изоморфные структуры), и, таким образом, понятия дезар-говой плоскости порядка q и плоскости Галуа порядка q эквивалентны. [20]
Теперь становится очевидно, что Dz q и St q - две изоморфные структуры), и, таким образом, понятия дезар-говой плоскости порядка q и плоскости Галуа порядка q эквивалентны. [21]
Отметим без доказательства, что на плоскости Галуа либо все четырехугольники обыкновенные, либо все они - четырехугольники Фано. Существует плоскость порядка 9 ( не являющаяся плоскостью Галуа), которая содержит как обыкновенные четырехугольники, так и четырехугольники Фано. Ясно, что, в силу свойства ( 3) ( стр. Фано переходит при коллинеации в четырехугольник Фано, а обыкновенный четырехугольник - в обыкновенный. [22]
На плоскости Галуа коллинеация необязател ьно сохраняет двойное отношение; в случае, если она сохраняет его, она называется голографией. Рассмотрим снова плоскость Галуа порядка 9, представленную таблицей сложения рис. 44 и таблицей умножения 7W ( 2) рис. 57; обозначим эту плоскость S. В параграфе 2.14 уже определялся автоморфизм а поля GF ( 9), отличный от тождественного. [23]
Мы уже видели, что Вз и Bf не имеют реализаций на классической проективной плоскости, но допускает ли каждая из этих конфигураций вообще реализацию на какой-либо плоскости. Мы покажем, что плоскость Галуа порядка четыре содержит Вз-конфигурацию, а плоскость Галуа порядка три - В - конфигурацию. [24]
Образуем граф Г на множестве вершин V, говоря, что два латинских квадрата смежны тогда и только тогда, когда они ортогональны. Хорошо известно, что проективная ( или аффинная) плоскость порядка п существует тогда и только тогда, когда Гп содержит в качестве подграфа полный граф на п - 1 вершинах. Теория графов дает нам некоторые нижние оценки для объема полных подграфов в графе, и неудивительно, что они недостаточно сильны для демонстрации существования плоскости данного порядка, за исключением тривиальных случаев. В этом свете представляется малообнадеживающей полезность применения теории графов для конечных плоскостей. [25]
Получим, очевидно, блок-схему с указанными выше значениями параметров. Напомним, что плоскость такого вида единственна - это плоскость Галуа порядка 4 ( см. рис. 7, стр. [26]
Мы уже видели, что Вз и Bf не имеют реализаций на классической проективной плоскости, но допускает ли каждая из этих конфигураций вообще реализацию на какой-либо плоскости. Мы покажем, что плоскость Галуа порядка четыре содержит Вз-конфигурацию, а плоскость Галуа порядка три - В - конфигурацию. [27]
Предположим, что дана плоскость, удовлетворяющая аксиомам 11; 12 и 13, и две различные точки X и Y на этой плоскости. Мы сейчас докажем, что из теоремы D ( X, Y) для плоскости вытекает теорема D ( Y, X), и обратно. Для удобства будем считать, что порядок данной плоскости больше 2; нетрудно проверить, что для плоскости порядка 2 обе теоремы D ( X, У) и D ( Y, X) справедливы. [28]
При этом устанавливается следующее соответствие между графом на рис. 95 и таблицей инцидентности на рис. 2 ( стр. Pk соответствуют точки плоскости, а точкам 1 - прямые плоскости. Если понимать отношение принадлежности точек одному ребру как отношение инцидентности, то нетрудно будет убедиться, что наш граф является моделью плоскости Галуа порядка два. [29]
Три диагональные точки лежат на одной прямой; кроме них на этой прямой лежат упомянутые 2 точки вне сторон. Добавление каждой из них к четырем вершинам дает 5-дугу; так как проходящая через эти точки прямая не содержит вершин, то добавление к вершинам обеих точек дает 6-дугу. Из рассуждения видно, что 6-дуга строго однозначно задается четырехвершинником. Число упорядоченных четырехвершинников в плоскости порядка 4 равно 21 - 20 - 16 - 9; в шестерке точек дуги число таких четырехвершинников равно 6 5 4 3; такое число раз входит в подсчет каждая 6 -дуга. [30]