Cтраница 2
Действительно, этим преобразованием пространства устанавливается взаимно однозначное отображение прямых и плоскостей связки 5 на прямые и, соответственно, плоскости связки 57, при котором инцидентность прямых и плоскостей связки не нарушается. Мы покажем, что верно и обратное предложение. [16]
В согласии с этим определением, саму связку прямых и плоско-стей с имеющимися в ней инцидентности ми можно рассматривать как проективную плоскость, если за точки принять прямые связки, а гза прямые - плоскости связки. [17]
Но каждая плоскость связки, проходящая через прямую связки я, параллельную плоскости тт, пересекает тг по прямой, параллельной п; и обратно, через каждую прямую плоскости тс, параллельную указанной прямой п, и эту прямую п проходит некоторая плоскость связки ( черт. В соответствии с этим мы будем считать несобственную точку N, отвечающую прямой связки я, инцидентной всем прямым плоскости тс, параллельным прямой п, а кроме них - лишь еще несобственной прямой. [18]
Установленное выше соответствие между собственными точками и прямыми плоскости тг, с одной стороны, и прямыми и плоскостями связки 5, не параллельными тс, - с другой, обладает, очевидно, следующим свойством: инцидентным точке и прямой плоскости тс соответствуют инцидентные прямая и плоскость связки 5, и обратно. Естественно поэтому, что мы и на введенные нами несобственные точки и прямую плоскости тс перенесем отношения инцидентности, имеющиеся для соответствующих им элементов связки S. Конкретно это будет означать следующее. [19]
Диалогично, и каждой прямой плоскости тс соответствует одна вполне определенная плоскость связки 5, а именно, плоскость связки, проходящая через эту прямую. Однако не всякой плоскости связки 5 соответствует в этом смысле прямая плоскости тс. А именно, плоскости связки, параллельной плоскости тс ( и только этой плоскости связки), не соответствует на плоскости тс никакая прямая. Пополним теперь совокупность прямых плоскости тс, отнеся плоскости связки 5, параллельной плоскости тс, условную, так называемую несобственную прямую и присоединив эту новую прямую к прямым плоскости тс. [20]
Связкой плоскостей называют совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку, а также совокупность всех плоскостей, параллельных данной прямой. В первом случае точку, через которую проходят все плоскости связки, называют центром связки, а саму связку называют собственной. Во втором случае говорят, что центр связки лежит в бесконечности, и называют связку несобственной. [21]
Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что в такой модели - мерные ( проективные) плоскости пространства Рп суть ( k - j - 1) - мерные плоскости связки О. [22]
Ясно, что каждый собственный пучок и каждая собственная связка состоит из тех же плоскостей ( лишь пополненных несобственными прямыми), что и соответствующие пучок или связка в аффинном пространстве. При этом центральной прямой несобственного пучка будет несобственная прямая плоскости, которой в аффинном пространстве параллельны, плоскости пучка, а центром несобственной связки будет несобственная точка прямой, которой параллельны плоскости связки. [23]
Действительно, отнесем каждой прямой т связки S прямую т связки S, проходящую через ту же точку М плоскости П, что и прямая w, и каждой плоскости Я связки S - плоскость X связки S, проходящую через ту же прямую / плоскости П, что и плоскость А. Это отображение связки 5 на связку Sr будет, очевидно, проективным и потому, согласно теореме 3 § 181, его можно будет осуществить с помощью некоторого аффинного преобразования пространства. [24]
Диалогично, и каждой прямой плоскости тс соответствует одна вполне определенная плоскость связки 5, а именно, плоскость связки, проходящая через эту прямую. Однако не всякой плоскости связки 5 соответствует в этом смысле прямая плоскости тс. А именно, плоскости связки, параллельной плоскости тс ( и только этой плоскости связки), не соответствует на плоскости тс никакая прямая. Пополним теперь совокупность прямых плоскости тс, отнеся плоскости связки 5, параллельной плоскости тс, условную, так называемую несобственную прямую и присоединив эту новую прямую к прямым плоскости тс. [25]
В этом легко убедиться, проектируя элементы плоского поля со из произвольного центра связки О ( черт. Получаем полярное соответствие прямых ( р) и плоскостей ( л) в связке Q. Обратно, сечение плоскостью со переводит соответствие прямых и плоскостей связки в соответствие точек и прямых плоского поля. [26]
Диалогично, и каждой прямой плоскости тс соответствует одна вполне определенная плоскость связки 5, а именно, плоскость связки, проходящая через эту прямую. Однако не всякой плоскости связки 5 соответствует в этом смысле прямая плоскости тс. А именно, плоскости связки, параллельной плоскости тс ( и только этой плоскости связки), не соответствует на плоскости тс никакая прямая. Пополним теперь совокупность прямых плоскости тс, отнеся плоскости связки 5, параллельной плоскости тс, условную, так называемую несобственную прямую и присоединив эту новую прямую к прямым плоскости тс. [27]
Взаимно однозначное отображение совокупности всех точек и совокупности всех прямых проективной плоскости, соответственно, на совокупность всех ее прямых и совокупность всех ее точек, сохраняющее инцидентность точек и прямых, называется коррелятивным преобразованием проективной плоскости. Описанное сейчас отображение, относящее друг другу точки и прямые с одинаковыми координатами, представляет собой простейший пример коррелятивного преобразования. Таким образом, отображение состоит геометрически в том, что каждой прямой связки относится перпендикулярная к ней плоскость связки и точно так же каждой плоскости связки - перпендикулярная к ней прямая связки. [28]
Взаимно однозначное отображение совокупности всех точек и совокупности всех прямых проективной плоскости, соответственно, на совокупность всех ее прямых и совокупность всех ее точек, сохраняющее инцидентность точек и прямых, называется коррелятивным преобразованием проективной плоскости. Описанное сейчас отображение, относящее друг другу точки и прямые с одинаковыми координатами, представляет собой простейший пример коррелятивного преобразования. Таким образом, отображение состоит геометрически в том, что каждой прямой связки относится перпендикулярная к ней плоскость связки и точно так же каждой плоскости связки - перпендикулярная к ней прямая связки. [29]
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспективном соответствии переходят в несобственный пучок параллельных прямых на плоскости я, который задает ( несобственную) точку пополненной плоскости я. Поставив в соответствие всякому несобственному пучку параллельных прямых, лежащих в плоскости я, параллельный этим прямым особый луч связки О, а несобственной прямой плоскости я - особую плоскость связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции между всеми точками и прямыми пополненной плоскости я и всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также называется перспективным соответствием. Очевидно, что это перспективное соответствие также сохраняет отношение инцидентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проективных плоскостей. [30]