Cтраница 2
Вещественной проективной плоскостью называется проективная плоскость, изоморфная пополненной плоскости. [16]
По определению, инверсия с произвольным центром является на пополненной плоскости всюду определенным инволютивным преобразованием. [17]
При описанных выше изоморфизмах моделей проективных плоскостей ( связка - пополненная плоскость, связка - арифметическая проективная плоскость) проективные координаты в связке переносятся и на пополненную плоскость и на арифметическую проективную плоскость. Но в отличие от связки, где все проективные системы координат равноправны, на арифметической проективной плоскости имеется исходная привилегированная система координат. [18]
Множество я с выделенными в ней собственными и несобственной прямыми и называется пополненной плоскостью. Несобственные точки пополненной плоскости называются также бесконечно удаленными -, несобственная прямая - бесконечно удаленной прямой. [19]
Любое преобразование плоскости ( например, ортогональное или аффинное) мы будем считать преобразованием пополненной плоскости, переводящим точку М в себя. [20]
Xs) и прямым ( ai: a2: as арифметической проективной плоскости прямые и плоскости связки О ( или точки и прямые пополненной плоскости д), имеющие в некотором фиксированном репере однородные координаты ( х х2: х) и ai: a2: az соответственно, получаем, очевидно, изоморфизм арифметической проективной плоскости предыдущим моделям проективной плоскости. [21]
При описанных выше изоморфизмах моделей проективных плоскостей ( связка - пополненная плоскость, связка - арифметическая проективная плоскость) проективные координаты в связке переносятся и на пополненную плоскость и на арифметическую проективную плоскость. Но в отличие от связки, где все проективные системы координат равноправны, на арифметической проективной плоскости имеется исходная привилегированная система координат. [22]
Поскольку в силу формулы ( 1) г оо при z оо, эта формула выражает преобразование подобия ( а при а 1 - движение) и на пополненной плоскости. [23]
Соответствующие классы эквивалентности называются ориентациями пополненной плоскости. Пополненная плоскость, для которой выбрана ориентация, называется ориентированной. [24]
Так пополненная плоскость называется круговой плоскостью. Так как при инверсии с центром в точке О любая окружность, проходящая через точку О, переходит в прямую, то мы будем рассматривать прямую как окружность, проходящую через точку Рто. [25]
Множество я с выделенными в ней собственными и несобственной прямыми и называется пополненной плоскостью. Несобственные точки пополненной плоскости называются также бесконечно удаленными -, несобственная прямая - бесконечно удаленной прямой. [26]
Таким образом, подобно расширенной плоскости пополненная плоскость не имеет непересекающихся прямых. В этом отношении прямые на пополненной плоскости напоминают не столько прямые на расширенной плоскости, сколько окружности на обычной ( евклидовой) плоскости. Действительно, две окружности имеют, вообще говоря, две общие ( собственные) точки ( возможно, мнимые), за исключением того случая, когда они касаются. [27]
Пополненную плоскость мы будем считать ориентированной, если ориентирована исходная евклидова плоскость. Таким образом, в частности, пополненная плоскость, отнесенная к комплексной координате г, автоматически ориентирована. [28]
Рассмотрим пучок плоскостей, проходящих через особый луч связки. Неособые плоскости этого пучка при перспективном соответствии переходят в несобственный пучок параллельных прямых на плоскости я, который задает ( несобственную) точку пополненной плоскости я. Поставив в соответствие всякому несобственному пучку параллельных прямых, лежащих в плоскости я, параллельный этим прямым особый луч связки О, а несобственной прямой плоскости я - особую плоскость связки О, продолжаем перспективное соответствие до биекции между всеми точками и прямыми пополненной плоскости я и всеми лучами и плоскостями связки О. Эта биекция также называется перспективным соответствием. Очевидно, что это перспективное соответствие также сохраняет отношение инцидентности. Следовательно, оно является изоморфизмом проективных плоскостей. [29]
Принципиальное отличие окружностей от прямых на евклидовой плоскости состоит в том ( см. пп. Как мы знаем, это связано с тем, что две стороны прямой совершенно равноправны, а стороны окружности - нет. Поэтому на пополненной плоскости мы для каждой окружности - 2 должны специально указывать ее сторону. [30]