Cтраница 3
Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовыми флуктуациями параметров, используемый метод приводит к марковскому характеру решения задачи, а соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Фоккера-Планка. В книге подробно анализируются методы анализа этого уравнения и краевых условий для него, его решения с помощью интегральных преобразований и его условия применимости. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Фоккера-Планка в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи. Для динамических систем с негауссовыми флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к марковскому характеру решения. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-дифференциальные уравнения типа уравнения Колмогорова-Феллера. [31]
Уравнение (8.21) правильно описывает одноточечную плотность вероятностей и для времен t TO - Однако в этом случае решение задачи (8.7) r ( t) v ( i) не является векторным марковским случайным процессом, так как ее многовременная плотность вероятностей не допускает факторизации с помощью плотности вероятностей перехода. [32]
На первый взгляд кажется удивительным, что в определение диффузионного процесса ( 4.16, 19, 90) входят только первых два ( усеченных) дифференциальных момента, а именно: litt t s ( / ( t - s) E ( Xt - Xs) v Xs-x, vl, 2, плотности вероятности перехода и не содержится никакого упоминания о моментах более высокого порядка. [33]
Марковский дискретный процесс с непрерывным временем; вероятностные функции состояний; плотность вероятности переходов; однородный дискретный процесс с непрерывным временем; неоднородный дискретный процесс с непрерывным временем; матрица плотностей вероятностей переходов; система дифференциальных уравнений Колмогорова; размеченный граф состояний системы, в котором протекает марковский дискретный процесс с непрерывным временем; правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по размеченному графу; правило составления системы дифференциальных уравнений Колмогорова по матрице плотностей вероятностей переходов; нормальная форма Коши; задача Коши. [34]
Здесь Py - ( At) - вероятность перехода системы из S в Sj в течение промежутка времени А, выбираемого произвольно на оси времени. Плотность вероятности перехода А -, является теперь постоянной величиной. [35]
Коэффициент сноса а ( X, t) характеризует среднее значение локальной скорости марковского процесса Л ( t), а коэффициент диффузии Ь ( X, t) - локальную скорость изменения дисперсии приращения. Если плотность вероятности перехода зависит лишь от разности временных аргументов т t - ta, а коэффициенты а и и не зависят от t и, то рассматриваемый процесс К ( t) называется однородным во времени. [36]
Наконец, существуют случайные процессы, временная эволюция которых зависит от всей их истории. В этом случае плотность вероятности перехода & п ограниченного порядка не может полностью описать эволюцию. [37]
Ряд этот абсолютно сходится, что свидетельствует о законности применения операции интегрирования. Формула (18.194), определяющая плотность вероятности перехода, содержит основное слагаемое - нормальную плотность вероятности перехода и поправку в виде ряда. [38]
Однако записать уравнение для плотности вероятностей перехода в такой компактной форме, как (3.72), не всегда удается. [39]
Уравнение Колмогорова - Чепмена в форме (2.71) - это общее соотношение, справедливое для любого марковского процесса. Его практически нельзя использовать для определения плотности вероятности перехода Р ( х, f; x, t) без дополнительной информации о характере исследуемого процесса. В задачах о прохождении частиц через вещество такой информацией являются данные о сечениях и коэффициентах взаимодействия. [40]
В данном параграфе устанавливается связь между пуассоновскими потоками событий и дискретными марковскими процессами с непрерывным временем. Показывается, как используется интенсивность пуассоновских стационарных потоков в качестве плотностей вероятностей переходов системы из состояния в состояние при анализе моделей конкретных ситуаций. [41]
В данном параграфе обсуждаются основные понятия дискретного марковского процесса с непрерывным временем. Определяются вероятности состояний системы, в которой протекает такой процесс, и плотности вероятностей переходов системы из состояния в состояние. Для вычисления вероятностей состояний выводится система дифференциальных уравнений Колмогорова. [42]
Она определяется динамикой случайного процесса и не зависит от поведения в более ранние, чем n i, моменты времени. Тогда совместная плотность вероятности рп любого порядка п полностью определяется через pi и плотность вероятности перехода i i, и индексы ( 1 1), обычно, опускаются. Это делает рассмотрение марковского процесса особенно простым. [43]
Наконец, снова отметим, что хотя уравнение (2.8.5) было получено без явного использования марковского предположения, ибо уравнение (2.7.1), используемое в качестве отправной точки, справедливо в самом общем случае, результаты оказываются полезными только для марковских процессов первого порядка. Причина этого в том, что только когда ( x t xo to) представляет собой плотность вероятности перехода, моменты перехода определяются динамикой случайного процесса и не зависят от вероятностей по х в предыдущие моменты времени. [44]
Применение уравнения Колмогорова в виде (1.126) в нашем случае затруднительно, так как оно не отражает статистических характеристик двухфазной системы в целом. Однако на основании статистической теории диффузии было показано [57], что распределение концентрации дисперсных частиц в двухфазных системах описывается тем же законом, что и распределение плотности вероятности перехода. [45]