Плотность - вероятность - переход
Cтраница 4
Уравнение (8.3) не удовлетворяет условию детального баланса, поскольку диффузионная матрица вырожденна. Мы покажем, однако, что существует класс моделей, который не подчиняется принципу детального баланса, но для которого можно точно получить не только стационарную плотность вероятности, но даже и зависящую от времени плотность вероятностей переходов. Этот класс моделей будет рассмотрен в разд. [46]
 |
Квантование функции по уровням. [47] |
В некоторой степени указанный недостаток можно устранить, если использовать марковский процессе кусочно-линейной аппроксимацией. Марковский процесс определяется двумерной плотностью вероятностей р (, ylt t0, tj Ф ОлЛ) Р ( У1 1 / Уо о), где ф ( г / 04) - одномерная плотность вероятности; Р () - плотность вероятности перехода у0 в состояние У. [48]
Так как счетчик может менять свои состояния случайным образом в случайные моменты времени, а в каждый момент он пребывает в одном из состояний s, s2, sy то процесс, протекающий в системе S, будет дискретным случайным процессом с непрерывным временем. Данный процесс можно считать марковским, поскольку состояние счетчика в будущем существенно зависит от его состояний в настоящий момент времени и несущественно - от его состояний в прошлом. Незначительные колебания плотностей вероятностей переходов с течением времени позволяют нам сделать допущение об однородности рассматриваемого процесса. [49]
Модель Ферхюльста не принадлежит подклассу 0 0: винеров-ский процесс входит в экспоненциальную функцию. В результате гауссовский процесс претерпевает нелинейное преобразование, и решение (6.86) перестает быть гауссовским процессом. Это значительно затрудняет вычисление плотности вероятности Перехода для Yt и тем самым для Xt. Иначе говоря, решение (6.88) перестает быть удобным отправным пунктом для получения зависящего от времени решения УФП в модели Ферхюльста. Для того чтобы найти решение, приходится использовать различные методы. [50]
Так как решение СДУ Ито имеет почти наверное непрерывные траектории, можно ожидать, что Xt - не только марковский, но и диффузионный процесс. Однако такая проверка довольно трудоемка, поэтому проверить, что Xt - диффузионный процесс, удобнее другим способом. Маккину [5.7] приадлежит наиболее изящное и прямое доказательство того, что плотность вероятности перехода случайного процесса Xt существует и удовлетворяет УФП. [51]
Страницы: 1 2 3 4