Cтраница 4
Формула Симпсона использует квадратичное приближение, когда площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей параболических трапеций. Очевидно, имея в распоряжении набор точек, можно построить полином более высокой степени. Но при этом возрастает число требуемых узловых точек, и формулы становятся громоздкими. Вообще же выбор формулы для интегрирования определяется классом функций. Может оказаться, что формула более высокого порядка приведет к большим ошибкам. Например, при интегрировании линейных функций максимальная точность будет достигнута при использовании формулы трапеций. Представленные выше формулы являются частным случаем формул Ньютона-Котеса. [46]
Из предыдущего следует, что для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой - / () прямыми х - а, х Ь и отрезком [ а Ь ] оси абсцисс, достаточно найти какую-нибудь ( любую) первообразную функцию F ( x) для f ( x) и вычислить разность значений этой первообразной при х - Ь и при х а; получаемое таким образом число F ( b) - F ( a) и выразит площадь трапеции. [47]
Искомая площадь может быть получена как разность площадей криволинейной трапеции BADC и треугольника ВАС. [48]
Искомая площадь равна разности площади четверти круга и площади криволинейной трапеции. [49]
Очевидно, эта задача вполне аналогична задаче о площади криволинейной трапеции. [50]
В предыдущем пункте вы видели, что вычисление площади криволинейной трапеции сводилось к следующему: для заданной функции пишется первообразная и вычисляется приращение первообразной. Далее вы увидите, что к таким вычислениям сводится решение многих задач. Так как у функции первообразных бесконечно много, то естественно возникает вопрос, не зависит ли результат таких вычислений от выбора первообразной. [51]