Cтраница 4
Коттон ( сомнительные случаи - Ann. Перрон ( поведение интегральных кривых в окрестности точки равновесия - Math. Ляпунова в строгом смысле этого слова. [46]
В предыдущем параграфе было показано, как конечным числом операций можнонайти исключительные направления и определить, какого типа нормальными областями они могут быть окружены. Для дальнейшего выяснения поведения интегральных кривых необходимо уметь конечным числом операций различать между собой возможные случаи расположения интегральных кривых дяя областей второго и третьего типа. Эти две проблемы различения оказываются имеющими неодинаковые решения. Если для нормальных областей третьего типа возможен, как мы покажем для аналитического случая, только один способ расположения интегральных кривых, то для областей второго типа на расположение интегральных кривых, как показал Фромм ер, могут влиять члены сколь угодно высокого порядка, и для решения проблемы различения приходится производить для каждой данной задачи хотя и конечное число операций, однако, число неограниченное, если рассматривать весь класс аналитических правых частей. [47]
В соответствии с программой, намеченной в разд. Рассмотрим характерный пример поведения интегральных кривых W ( х) при фиксированных значениях Р 0 5, б - 1 и различных Q. Данные расчета представлены па рис. 85, где приведены четыре интегральные кривые. [48]
Для тех простейших особых точек, которые мы будем рассматривать, можно утверждать, что через них либо проходит несколько интегральных кривых, либо ни одной. Характер особых точек зависит от поведения интегральных кривых вблизи от них. [49]
Этот вопрос изучается в аналитической теории дифференциальных уравнений. Решение его проливает свет на качественную картину поведения интегральных кривых в окрестности особой точки и на вопрос об устойчивости нулевого решения соответствующей системы дифференциальных уравнений. [50]
На практике примеры такого рода встречаются сравнительно редко, однако с возможностью их приходится считаться. В сомнительных случаях рекомендуется составлять общее представление о поведении интегральных кривых, в зависимости от чего и выбирать подходящий способ вычисления. [51]