Cтраница 4
Принципиальное рассмотрение многоволнового рассеяния было впервые выполнено Эвальдом в 1937 г. [156] на основе его динамической теории. В этой работе рассматривалось рентгеновское волновое поле, состоящее из п взаимодействующих между собой плоских волн, распространяющихся в кристалле. Согласно точке зрения автора, основные характеристики поля, а именно длины и направления волновых векторов hn и относительные значения амплитуд или напряженностей электрических и магнитных полей, определяются точкой А в обратном пространстве, названной автором точкой связи. При этом условие самосопряженности полного волнового поля приводит к выводу, что точка А должна лежать на дисперсионной поверхности А 0 ( см. гл. Эта поверхность должна иметь 2п листов. Такой подход принципиально позволяет определить преломленные и дифрагированные волны в вакууме использованием соответствующих условий на границах кристалл - вакуум. [46]
В главе 1, посвященной историческому обзору развития наших представлений о процессах распространения рентгеновских лучей в идеальных ( и почти идеальных) кристаллах, отмечалось, что за последние годы наблюдается своеобразное возрождение динамической теории Дарвина. Преимуществом первоначальной формы этой теории является большая простота выводов, с помощью которых ее автор, а также Принс [87] и другие, получили результаты, подтвержденные более строгой теорией Эвальда - Лауэ - Захариасена. Когда актуальной стала задача построения теории рассеяния рентгеновских лучей в деформированных кристаллах, Пеннингом и Полдером [38] и Като [39] была рассмотрена эта задача для слабодеформированных кристаллов, с использованием слегка модифицированной теории Лауэ - Захариасена. При этом выявились принципиальные трудности, стоящие на этом пути и вызванные неприменимостью к иным условиям рассеяния таких понятий, как обычная блоховская волна и ее аппроксимация суперпозицией плоских волн, дисперсионная поверхность, экспоненциальные комплексные волновые функции. [47]
Очевидно, для получения величин Dt в явном виде необходимо исключить неизвестные коэффициенты Kt. С этой целью прежде всего составим скалярные произведения уравнений (12.32) на единичные векторы Si, s2 и S3 соответственно. При этом мы получим систему линейных однородных уравнений для Kt. Эта система имеет решение при условии равенства нулю детерминанта, составленного из коэффициентов при Kt. Следовательно, соответствующее уравнение (12.33) является уравнением дисперсионной поверхности в трехволновом случае. [48]
Нормальная волна, распространяющаяся по кристаллу, характеризуется частотой v и волновым вектором q, который определяет направление движения фронта волны. Такой волне соответствует движущаяся квазичастица с энергией hv - фонон. Если принять циклические граничные условия Борна - Кармана, то число значений волнового вектора равно числу ячеек в кристалле N. Для жестких молекул, каждая из которых имеет 3 трансляционные и 3 либрационные степени свободы, при всяком ненулевом значении q существует 6Z нормальных волн с различной поляризацией, где Z - число молекул в ячейке. Следовательно, в этом случае для характеристики колебательного движения в молекулярном кристалле требуется определить 6ZN частот. Функция, выражающая зависимость частот от волнового вектора, состоит из 6Z дисперсионных поверхностей, называемых также ветвями или модами. [49]
Но нам необходимо еще учесть граничные условия. Первое условие легко удовлетворить, если потребовать, чтобы тангенциальные компоненты волновых векторов были одинаковы на обеих сторонах граничной поверхности. В случае дифракции электронов разности перпендикулярных компонент значительно меньше самих перпендикулярных компонент. Бете [285, 288] показал, что при таких условиях из непрерывности тангенциальных компонент векторов вытекает и непрерывность нормальных производных. Это условие дает тангенциальную компоненту kot. Отклонение от строгого брэгговского положения можно характеризовать параметром х, равным расстоянию от границы зоны Бриллюэна до точки С на дисперсионной поверхности, соответствующей узлу N обратной решетки. [50]