Cтраница 3
Рациональные квадратичную и кубическую кривые можно взять в основу построения рациональной поверхности примерно таким же способом, каким пользовался Безье, беря в качестве основы кубическую кривую и получая в конечном итоге порцию бикубической поверхности в системе UNISURF. Таким образом, порция рациональной бикубической поверхности определяется уравнением, аналогичным уравнению (5.12), в котором векторы представлены в однородных координатах. [31]
Представлено меню возможных модификаций, одной из которых является перемещение координатных векторов. Для бикубической поверхности Кунса также включены модификации касательных векторов и векторов вращения. Трансфокация камеры относительно кадра изображения. [32]
Рациональные квадратичную и кубическую кривые можно взять в основу построения рациональной поверхности примерно таким же способом, каким пользовался Безье, беря в качестве основы кубическую кривую и получая в конечном итоге порцию бикубической поверхности в системе UNISURF. Таким образом, порция рациональной бикубической поверхности определяется уравнением, аналогичным уравнению (5.12), в котором векторы представлены в однородных координатах. [33]
В автоматизированном проектировании большой интерес представляет разработка соответствующих методов для определения и / или визуализации качества или гладкости поверхностей. Хорошо известно, что используемые обычно бикубические поверхности ( Кунса, Безье или В-сплайн), хотя и являются во всех точках С2 гладкими, в некоторых местах могут быть плоскими или выпуклыми либо волнистыми. В настоящее время самые лучшие математические методы Определения качества поверхности используют Эйлеровы ( ортогональные) сетки минимальной и максимальной кривизны ( см. [6-28] и [6-29]) и гауссовой кривизны ( см. [6-28] - [6-32], и разд. [34]
Здесь представлены алгоритмы генерации трехмерных поверхностей. Включены алгоритмы для билинейных, правильных поверхностей, линейных и бикубических поверхностей Кунса, поверхностей Безье, рационального и нерационального В-сплайна. [35]
Большая выгода достигается, если удается одну поверхность преобразовать к неявному виду. К сожалению, наиболее часто используемые параметрически задаваемые поверхности - порции бикубических поверхностей - не могут быть представлены. [36]
Свойства однородных координат позволяют выражать с помощью единой матрицы все преобразования: сдвиги, повороты и даже проекции ( аксонометрические или центральные), а также любые сочетания преобразований в виде произведения матриц. Использование однородных координат позволяет применять единый математический аппарат для пространственных преобразований ( поворотов, масштабирования, переноса) точек, прямых, квадратичных и бикубических поверхностей и линий. [37]
Алгоритм синтеза изображений требует конкретного описания правил изображения некоторых стандартных примитивов. В § 3.4.1 - 3.4.4 подробно рассмотрены правила обработки примитивов на основе плоских многоугольников, многогранников, поверхностей второго порядка, бикубических поверхностей. Напомним, что поверхности типа экструзий образуются вращением некоторой ломаной линии вокруг заданной оси или с помощью параллельного переноса ломаной вдоль некоторой прямой. В первом случае поверхность представляют в виде усеченных конусов, соприкасающихся торцами, а во втором - в виде смежно расположенных многоугольников. В этом изложении примитивы такого вида специально не рассматриваются, так как могут быть составлены из независимых комбинационных частей. В [95, 74] также могут быть найдены конкретные правила изображения основных примитивов методом трассирования лучей. [38]
Особенно важными для практики являются параметрические бикубические поверхности, математические аспекты описания которых рассмотрены в § 3.4.4. Бикубические поверхности являются простейшими среди форм поверхностей, с помощью которых достигается непрерывность составной функции и ее первых производных. Другими словами, функция, составленная из нескольких смежных бикубических участков, будет обладать непрерывностью и гладкостью в местах стыка. Обычно бикубические участки - это гладкие изогнутые четырехугольники, представление о которых могут дать листы металла, бумаги и других материалов, обладающих упругостью. Описанию и изображению бикубических поверхностей посвящена обширная литература [54, 62, 63, 79, 99, 104, 146], что обусловлено свойствами этих поверхностей описывать любые геометрические формы. К недостаткам такой формы задания поверхностей следует отнести трудоемкость описания и большие вычислительные затраты. Последние определяются необходимостью численных, а не аналитических методов математических решений. [39]
Приведенное выше обсуждение поверхностей Безье касалось определения и характеристик одного куска поверхности. Для того чтобы получить более сложные поверхности, надо объединить несколько кусков поверхности Безье. Подробное обсуждение этого вопроса лежит вне сферы данной книги. Проблемы, возникающие при объединении кусков поверхности Безье с обеспечением гладкости вдоль соприкасающихся сторон, иллюстрируются рис. 6 - 41 на примере объединения двух кусков бикубической поверхности Безье вдоль одной стороны. [40]