Поворот - твердое тело
Cтраница 2
Заметим, что координатные оси X, Y, Z не обязательно должны поворачиваться вместе подобно повороту твердого тела. Определение предусматривает и такие случаи, когда оси X, Y, Z поворачиваются независимо. Путем поворотов такого типа может быть совершен переход от любой прямолинейной системы координат к другой прямолинейной системе - правой или левой, оси которой ориентированы совершенно произвольно. [16]
Рассматриваемое твердое тело может свободно вращаться вокруг оси z, проходящей через две неподвижные точки, а его положение в пространстве определяется одним параметром, в качестве которого можно взять угол поворота твердого тела вокруг этой оси. [17]
Положение твердого тела ( рис. 115) мы определим, если зададим: 1) положение его центра тяжести С в пространстве, 2) направление некоторой определенной оси 0 ( 7 и 3) угол поворота твердого тела вокруг этой оси по отношению к некоторому начальному положению. Для определения направления оси 00 в шесть степеней пространстве надо задать еще две координаты, например, два угла & и ф, которые она составляет с двумя из трех координатных осей. [18]
 |
Система эйлеровых углов. [19] |
Для описания угловой вибрации твердого тела удобнее система эйлеровых углов, представленная на рис 14, которая нашла широкое применение в динамике самолета и при решении многих других технических вопросов [5, 9, 11] В этой сисгеме эйлеровы углы, определяющие поворот твердого тела ( системы координат Pxyz) относительно полюса, задаются следующим образом. Рассмотрим три последовательных вращения системы координат, жестко связанной с телом. [20]
Здесь х0, у0, г0 - координаты произвольной точки твердого тела, выбранной за полюс; [, ср, 6 - углы Эйлера: угол прецессии, угол чистого, или собственного, вращения и угол нутации, определяющие поворот твердого тела вокруг полюса. [21]
Здесь х0, уо, го - координаты произвольной точки твердого тела, выбранной за полюс; ty, ф, 6 - углы Эйлера: угол прецессии, угол чистого, или собственного, вращения и угол нутации, определяющие поворот твердого тела вокруг полюса. [22]
Точка приложения веса тела называется центром тяжести тела. При перемещениях и поворотах твердого тела положение центра тяжести в нем не изменяется. Это видно из рис. 1.27, а, б и в, на котором изображена твердая прямоугольная пластина в различных положениях. Она разделена на множество тонких полосок, но для ясности на чертеже их только шесть. Вес каждой полоски представлен маленькой стрелочкой. Вес пластины Р, - ее центр тяжести С. [23]
 |
Перемещение раскрытия трещины у пластмассы, армированное стекломатом. а - краевое направление. б - плоскостное направление. [24] |
Под центром поворота понимается точка, расположенная на пересечении сторон трещины, которые при деформации остаются прямолинейными. Поворот относительно этой точки представляет собой поворот твердых тел. [25]
Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. [26]
Рассмотрим вновь движение твердого тела. Предположим, что связи идеальны и допускают только поворот твердого тела вокруг фиксированной прямой. [27]
Это осуществимо в задачах, где главный момент внешних сил постоянен либо зависит от угла поворота твердого тела, а в число данных и неизвестных величин входят: момент инерции твердого тела относительно оси вращения, внешние силы, приложенные к твердому телу, угловое перемещение, угловые скорости твердого тела в начале и в конце этого углового перемещения. [28]
Далее, следует иметь в виду, что не всякая физическая величина, однозначно представимая направленным отрезком, является вектором. Необходимо исследовать, выполняется ли для нее закон сложения, имеющий место для смещений точки. Так, например, поворот твердого тела вокруг оси может быть представлен стрелкой, направленной вдоль оси вращения, причем длина стрелки составляет столько сантиметров, сколько угол поворота содержит градусов. Пусть направление стрелки определено так, что, если смотреть вдоль нее, поворот представляется происходящим по часовой стрелке. Однако если сложить сопоставленные двум поворотам стрелки так же, как выше складывались векторы, то соответствующий их сумме поворот в общем случае не эквивалентен двум последовательным поворотам. Только для бесконечно малых поворотов справедлив векторный закон сложения. [29]
Несколько слов о содержании книги. Очевидно, изложение было бы проще и компактнее, если бы все внимание сосредоточить на голономных системах. В то же время автор учитывал, что на практике мы обычно имеем дело с голономными системами, и потому уделил неголономным системам сравнительно немного места. Особое внимание было обращено на отдельные классические задачи динамики твердого тела, которые, по мнению автора, еще недостаточно полно освещены в литературе. Это мнение ( о недостаточном внимании к динамике твердого тела) послужило причиной того, что в книгу включен раздел о теории поворотов твердого тела ( гл. Можно возразить, что эти вопросы составляют скорее предмет теории групп и вряд ли их следует включать в руководство по механике. [30]
Страницы: 1 2