Cтраница 3
Группы Матье М12 и М24 могут быть определены как расширения групп L2 ( H) и L2 ( 23) ( подгрупп индекса 2 в PGL ( 2 11) и PGL ( 2 23) соответственно) с помощью некоторого полиномиального преобразования прямых 5 ( 11) и 5 ( 23) соответственно. [31]
Для системы корней Ф типа D / ( / четно) существует автоморфизм графа этой системы, оставляющий Л и Ф инвариантными и переставляющий две из трех подгрупп индекса 2 в Л; однако если / ф 4, то никакой автоморфизм группы Л, оставляющий систему Ф инвариантной, не переставляет какую-нибудь из этих двух подгрупп с третьей. [32]
Группа n ( XS) допускает совершенно явное описание в терминах образующих и соотношений, а накрытия данной степени п, неразветвленные вне 5, отвечают ее подгруппам индекса п, которых имеется лишь конечное число. [33]
Группа G в том и только в том случае является прямым множителем в своем голоморфе, когда G или совершенна, или есть прямое произведение совершенной группы без подгрупп индекса два и группы второго порядка. [34]
ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА n - й степе ни - подгруппа Ап симметрической группы S, состоящая из всех четных подстановок. А является инвариантной подгруппой индекса 2 и порядка ге. Группа Ат может быть определена и для бесконечной мощности т, как подгруппа симметрич. Sm бесконечной мощности то, состоящая из всех четных подстановок. При любом тг, конечном или бесконечном, исключая п - 4, эта группа проста, что играет важную роль в теории разрешимости алгебраич. [35]
Графу Вп соответствует группа, состоящая из любых перестановок и изменений знаков у векторов некоторого ортонорми-рованного базиса n - мерного пространства. Графу Dn соответствует подгруппа индекса 2 в группе, соответствующей графу Вп. [36]
Дело в том, что группа Лоренца может переставлять конус будущего и конус прошлого. Мы должны взять подгруппу индекса 2, которая оставляет их на месте. [37]
Далее, Я / Я - свободная-абелева ранга два и Н а N. Значит, NJH, как подгруппа индекса р в Н / Н, - свободная абе-лева группа ранга два. Пусть Ач ( N) - вербальная подгруппа группы N, порожденная подгруппой N и / - ми степенями элементов из N. Если ранг слагаемого меньше, чем р - 1, то оно должно распадаться в прямую сумму модулей ранга 1, и на нем HIN действует также тривиально. Но это невозможно, так как тогда группа H / A4 ( N) была бы абелевой 2-порожден-ной группой, являющейся прямым произведением одной циклической р-группы и г З циклических 7-групп. [38]
В группе подстановок бесконечного множества ш элементов знакопеременная группа Aw определяется как группа, состоящая из подстановок, разлагающихся в произведение четного числа транспозиций. Являясь нормальным делителем, Аш - подгруппа индекса 2 в группе Н1а тех подстановок, каждая из которых перемещает только конечное число элементов. [39]
Особый интерес представляет цикличность факторгруппы. Нетрудно видеть, что р-адические квадраты образуют подгруппу Gp индекса 4, если р Ф 2, и индекса 8, если р 2; поэтому факторгруппа GpfGp нециклическая, и одного-единственного характера было бы недостаточно для ее описания. Разумеется, каждый р-адический квадрат есть р-адическая норма в К. Для успеха введенного Гильбертом определения одинаково существенны оба шага: замена квадратов / Г - нормами и переход от сравнений по модулю р к сравнениям по модулю сколь угодно высоких степеней р; первый шаг позволяет ослабить, а второй - усилить условие Гаусса для квадратичных вычетов. [40]
Решетка всех многообразий групп р-примарной экспоненты ступени нильпотентности I р есть подпрямое произведение / решеток, каждая из которых является прямым произведением решеток Л, где а пробегает подходящее множество индексов А. Символ А обозначает решетку, дуальную решетке всех подгрупп р-примарного индекса в свободной абелевой группе Рт ( Щ % т ( Клячко А. А. / / Упорядоченные множества и решетки. [41]
Решетка всех многообразий групп р-примарной экспоненты ступени нильпотентности I р есть подпрямое произведение / решеток, каждая из которых является прямым произведением решеток Лр ( а), где а пробегает подходящее множество индексов А. Символ А обозначает решетку, дуальную решетке всех подгрупп р-примарного индекса в свободной абелевой группе Рт ( Щ Z 1 ( К л я ч к о / / Упорядоченные множества и решетки. [42]
Калсдый класс G ( H ] определяется исходной точечной группой G и ее подгруппой Н - одной из перечисленных в скобках после символа группы G. Кристаллические классы С, С з, Т не имеют подгрупп индекса 2, и потому нет построенных на их базе магнитных классов. [43]
Предположим, что она верна для любой подгруппы группы H Fn () индекса, меньшего чем /, и пусть L - подгруппа индекса / в Я. [44]
Обратно, предположим, что группы Рх и FY изоморфны. Такой гомоморфизм однозначно определяется множеством образующих, отображаемых в единицу. Итак, число подгрупп индекса 2 свободной группы F z на множестве Z свободных образующих равно числу непустых подмножеств множества Z. Это число несчетно, если множество Z бесконечно, и равно 1Г - 1, если Z конечно и состоит из г элементов. Таким образом, если свободные группы Рх и Ру изоморфны, то отсюда следует, что множества X н У или оба бесконечны, или оба конечны, причем в, последнем случае состоят из равного числа элементов. Если же X и У бесконечны, то группы F x н FY имеют те же мощности, что и множества X и У соответственно. Но так как группы Рх и Ру равномощны, множества X и У также равномошны. [45]