Cтраница 1
Замкнутая подгруппа группы G является параболической тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу Бореля. В частности, связная подгруппа Н группы G является подгруппой Бореля тогда и только тогда, когда группа Н разрешима и многообразие G / H полно. [1]
Всякая замкнутая подгруппа группы Т, не совпадающая с Т, есть конечная циклическая группа. [2]
Всякая замкнутая подгруппа G группы Е является топологическим модулем над кольцом Zp целых р-адических чисел. [3]
Если между замкнутыми подгруппами групп Си О установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение включения, то это соответствие называется структурным изоморфизмом, а группы G и G структурно изоморфными. Ясно, что всякий топологически-групповой изоморфизм G и G влечет за собой соответственный структурный. Возникает вопрос: можно ли утверждать и обратное. [4]
Пусть Я - замкнутая подгруппа группы G GL ( n, К), нормализуемая полупростым элементом s e G. Тогда класс сопряженности C H ( S) замкнут. [5]
Так как j - замкнутая подгруппа группы 9 то 8 / Ф1 есть однородное пространство с естественной топологией ( см, § III главы II, стр. [6]
В частности, всякая замкнутая подгруппа группы Т, не совпадающая с Т, есть конечная циклическая группа. [7]
Пусть S - не обязательно замкнутая подгруппа группы ( 7J состоящая из полупростых элементов. [8]
Пусть Н и К - замкнутые подгруппы группы IIй, сумма G Н - - К которых тоже является замкнутой подгруппой. [9]
Лемма 3.1. Если Н - замкнутая подгруппа группы G ( компактной группы Ли), то существует конечномерное линейное G-действие, обладающее таким вектором и, для которого Н Gv - стационарная подгруппа. [10]
Пусть Ш - множество тех замкнутых подгрупп L группы С, для которых LH С; покажем, что УЯ, упорядоченное отношением ID, индуктивно. [11]
Мы уже знаем два вида замкнутых подгрупп группы R: с одной стороны - векторные подпространства пространства R, изоморфные группам RP ( р [ п) ( гл. [12]
Нормализатор N ( Т) - замкнутая подгруппа группы Ли, и потому он является группой Ли. Тогда в силу 6.1 N0 ( T) действует на торе Т ( посредством сопряжений) тривиально. Тогда 5 и Г порождают связную абе-леву группу, замыкание которой Т тоже есть связная абелева группа, являющаяся к тому же компактной. Но это противоречит максимальности тора Т, поэтому N0 ( T) T. Так как N ( Т) - группа Ли, то Т1 - открытое подмножество в N ( Т), и потому факторгруппа N ( Т) / Т конечна. [13]
Положим L - СН; L есть замкнутая подгруппа группы Gr содержащая С и Я; для доказательства того, что множества Ф ( sL) 8ф ( L) служат связными компонентами группы G / H, достаточно показать, что факторпространство пространства G / H по отношению эквивалентности, классами которого являются множества 5ф ( L), вполне несвязно. Но ] это факторпространство гомео-морфно однородному пространству GIL ( глЛ, § 3, предложение 7), и вопрос сведен, таким образом, к доказательству того, что если С с: Я, то GIH вполне несвязно. Так как G / H отождествимо тогда с ( G / C) / ( H / C) ( § 2, предложение 22), то можно считать, что сама группа G вполне несвязна. Всякая окрестность ф ( е) в GIH содержит окрестность вида ф ( ТО, где V - окрестность е в G, значит ( следствие 1) она содержит окрестность вида ф ( К), где К - открытая и компактная подгруппа группы G; ф ( К) будет тогда открыто-замкнуто в G / H, чем показано, что связная компонента точки ф ( е) в G / H сводится к этой точке; посредством переноса заключаем, что то же справедливо для связной компоненты любой точки из СУЯ, чем завершается доказательство следствия. [14]
Всякая алгебраическая группа является, очевидно, замкнутой подгруппой группы GL ( V) всех автоморфизмов пространства V. Отсюда вытекает, что Gx - замкнутая подгруппа группы G и что всякий класс группы G по подгруппе G1 замкнут в G. Так как Gx - подгруппа конечного индекса, то она является дополнением в G объединения конечного числа замкнутых множеств. [15]