Cтраница 3
Пусть теперь F - пересечение всех открыто-замкнутых окрестностей е в С; покажем, что / есть замкнутая подгруппа группы С. Действительно, поскольку замкнутость F очевидна, достаточно показать, что F - 1F a F. [31]
Пусть С - локально компактная группа, С0 - связная компонента ее нейтрального элемента е и Я - замкнутая подгруппа группы С. Показать, что если однородное пространство С / Н локально связно, то С07 / открыто в С. Пусть / / о - связная компонента е в / /; существует подгруппа L группы Я, открытая в Я и такая, что L / H0 компактно ( следствие 1 предложения 14); используя следствие 1 предложения 1, показать, что LGg замкнуто в С; с другой стороны, рассматривая канонический образ G0 в G / L и используя следствие 3 предложения 14 и локальную связность факторпространства локально связного пространства ( гл. [32]
Теорема 1.19. Предположим, что С - группа Ли. Если Н - замкнутая подгруппа группы G, то она - регулярное подмногообразие в G и, следовательно, сама является группой Ли. Обратно, всякая регулярная подгруппа Ли группы G замкнута. [33]
В общем случае, когда М и G заданы, G-структура на М может существовать, а может и не существовать. Если G - замкнутая подгруппа группы GL ( n R), то проблема существования превращается в проблему па-хождения сечений в некотором ( описываемом ниже) расслоении. [34]
Если пространство X отделимо, то стационарная подгруппа каждой точки будет замкнутой подгруппой в G. Обратно, если Н - замкнутая подгруппа отделимой группы G, то пространство G / Я левых смежных классов, снабженное фактор-топологией, будет отделимым однородным топологическим G-пространством. Если X - любое другое топологическое G-npo - странство с той же стационарной подгруппой, то естественное отображение q: G / H - X взаимно однозначно и непрерывно. Если G и X локально компактны1), то р - гомеоморфизм. [35]
Всякая алгебраическая группа является, очевидно, замкнутой подгруппой группы GL ( V) всех автоморфизмов пространства V. Отсюда вытекает, что Gx - замкнутая подгруппа группы G и что всякий класс группы G по подгруппе G1 замкнут в G. Так как Gx - подгруппа конечного индекса, то она является дополнением в G объединения конечного числа замкнутых множеств. [36]
С помощью упражнения 16 показать сначала, что всякая предельная точка отображения Ян - - н п фильтрующемуся множеству 5 есть сумма сходящегося ряда ( а. Использовать упражнение 3 § 5 главы III для доказательства того, что множество А, если оно не пусто, является смежным классом по некоторой замкнутой подгруппе группы Rn. [37]
I, § 6, теорема 6), и изоморфна Я / Z ( гл. III, § 2, предложение 20); для того чтобы G была замкнута в Т, необходимо и достаточно, чтобы Я была замкнута в R ( гл. Таким образом, отыскание замкнутых подгрупп группы Т сводится к определению замкнутых подгрупп Я группы R, содержащих /; для этого мы используем предложение 6 и определим сначала подгруппу Я, ассоциированную с такой подгруппой Я. [38]
Пусть G - локально компактная группа, счетная в бесконечности, или полнпя метризусмая группа, топология которой обладает счетным базисом. Для того чтобы факторгруппа А / ( А ( 1 Н) была изоморфна АН / И, кеобходгшо ц догтнтошю, чтобы АН было замкнутой подгруппой группы С. [39]
Любые две подгруппы Лсви в II. Замкнутая подгруппа группы С тогда и только тогда является II. [40]