Cтраница 3
Это утверждение эквивалентно существованию в каждой окрестности единицы U группы G компактной нормальной подгруппы К, факторгруппа G / K, по которой является группой Ли. Кроме того, произвольная локально компактная группа содержит открытую подгруппу с компактной факторгруппой по связной компоненте. [31]
Это утверждение эквивалентно существованию в каждой окрестности единицы U группы G компактной нормальной подгруппы К, факторгруппа G / / C, по которой является группой Ли. Кроме того, произвольная локально компактная группа содержит открытую подгруппу с компактной факторгруппой по связной компоненте. [32]
Непрерывность ( р сразу следует из того, что если U - достаточно малая открытая подгруппа в Ga, то 4 ( Gq) П U - y ( Gz П U является конгруэнцподгруппой в p ( Gz) и тем более подгруппой конечного индекса. [33]
Теорема 1.3. Пусть G и Я-группы Ли над / С, cpiQ - M) - гомоморфизм их касательных алгебр. Тогда существует гомоморфизм /: С0 - - Я, определенный на некоторой открытой подгруппе GO группы G и такой, что defq. Если fi G - H - другой гомоморфизм, определенный на открытой подгруппе GiCzG и такой, что defi q, то f - f в некоторой окрестности единицы. [34]
Во втором случае, в котором используется индуцирование, Я представляет собой открытую подгруппу, содержащую центр Z группы G и компактную по модулю Z. В этом случае всякое гладкое неприводимое представление р подгруппы Я конечномерно и тривиально на некоторой открытой подгруппе; это весьма близко к представлениям конечных групп. [35]
Поскольку С - замкнутый нормальный делитель группы G ( § 2, предложение 7), QIC - локально компактная ( предложение 13) вполне несвязная ( гл. Так как прообраз открытой подгруппы группы GIC относительно канонического отображения G на G / C есть открытая подгруппа в G, содержащая С, то можно ограничиться доказательством предложения для группы G / C, иначе говоря, мы свели доказательство к случаю, когда G вполне несвязна. [36]
Однородное пространство GIH всегда предполагается наделенным этой фактор-топологией. Если Я - открытая подгруппа группы G, то GUI дискретно. [37]
Теорема 1.3. Пусть G и Я-группы Ли над / С, cpiQ - M) - гомоморфизм их касательных алгебр. Тогда существует гомоморфизм /: С0 - - Я, определенный на некоторой открытой подгруппе GO группы G и такой, что defq. Если fi G - H - другой гомоморфизм, определенный на открытой подгруппе GiCzG и такой, что defi q, то f - f в некоторой окрестности единицы. [38]
Прежде чем излагать теорию меры в топологических группах, мы приведем в этом параграфе три топологические теоремы, находящие важное применение в теории меры. Эти теоремы касаются открытых подгрупп; подгруппа Z топологической группы А называется открытой если Z представляет собой открытое подмножество. Мы покажем, что все топологические свойства группы X присущи всякой ее открытой подгруппе Z; прочие свойства находят свое отражение в строении класса левых смежных подмножеств по Z, топология его оказывается дискретной. [39]
Ясно, что X является полней прямой суммой счетной совокупности групп 0 2, поэтому по теореме Тихонова К является компактной коммутативной группой в стандартной топологии прямого произведения топологических пространств. Далее, на б рассмотрим топологию, в которой подгруппа К является открытым множеством. Точнее, определяем топологию нг б так, чтобы базис открытых окрестностей нейтрального элемента о в б состоял из всех открытых подмножеств группг X, содержащих о. Тогда в этой топологии G - вполне несвязная локально-компактная коммутативная группа, в которой К является открытой подгруппой. Согласно структурной теореме в G существует открытая подгруппа Я, топологически изоморфная СФРЛ, где л0 и С-компактная группа. [40]
Ясно, что X является полней прямой суммой счетной совокупности групп 0 2, поэтому по теореме Тихонова К является компактной коммутативной группой в стандартной топологии прямого произведения топологических пространств. Далее, на б рассмотрим топологию, в которой подгруппа К является открытым множеством. Точнее, определяем топологию нг б так, чтобы базис открытых окрестностей нейтрального элемента о в б состоял из всех открытых подмножеств группг X, содержащих о. Тогда в этой топологии G - вполне несвязная локально-компактная коммутативная группа, в которой К является открытой подгруппой. Согласно структурной теореме в G существует открытая подгруппа Я, топологически изоморфная СФРЛ, где л0 и С-компактная группа. [41]