Cтраница 2
Нормальная система в G, состоящая из Г - допустимых подгрупп, называется стабильной относительно группы Г, если во всех факторах этой системы элементы из Г действуют как тождественные автоморфизмы. G имеется стабильная относительно Г нормальная система. [16]
Из определений немедленно следует, что объединение и пересечение допустимых подгрупп - снова допустимые подгруппы. Ясно, что оператор а можно рассматривать как оператор на допустимой подгруппе. Может случиться, что два оператора, ие совпадающие на всей группе, на некоторой допустимой подгруппе действуют одинаково. Кроме того, если соответствие G - К есть гомоморфизм G на К с ядром Т, допустимым относительно эндоморфизма я, мы можем определить соответствующий оператор в К. [17]
Если теперь в G выполняется условие минимальности для Ф - допустимых подгрупп, то нормальная система с приведенными свойствами окажется возрастающим рядом, существование которого доказывает теорему. Заметим еще, что так как Z - rpynna обладает убывающим рядом коммутантов, доходящим до единицы, то можно добавить, что в рассматриваемой ситуации группа G является также разрешимой. [18]
Заметим, что подалгебры Е - операторной группы называются - допустимыми подгруппами, а гомоморфизмы 2-операторных групп ( с фиксированной, понятно, системой операторов 2) - 2-операторними гомоморфизмами. [19]
Как мы уже уславливались, всякий возрастающий нормальный ряд Г - допустимых подгрупп группы G коротко называется Г - рядом. Легко проверить, что если Г - ряд [ Яа ] является уплотнением Г - ряда [ Fp ], то Г - централи-затор второго ряда принадлежит Г - централизатору первого ряда. [20]
Из определений немедленно следует, что объединение и пересечение допустимых подгрупп - снова допустимые подгруппы. Ясно, что оператор а можно рассматривать как оператор на допустимой подгруппе. Может случиться, что два оператора, ие совпадающие на всей группе, на некоторой допустимой подгруппе действуют одинаково. Кроме того, если соответствие G - К есть гомоморфизм G на К с ядром Т, допустимым относительно эндоморфизма я, мы можем определить соответствующий оператор в К. [21]
В силу теоремы 2.4.1 перспективные ( следовательно, н проективные) фактор-группы допустимых подгрупп операторно изоморфны. Следовательно, чтобы показать, что доказательство теоремы 8.4.2 применимо и в данном случае, мы должны установить, что в факторах XJY, фигурирующих в доказательстве, Y ] X н что применение модулярного закона в выражении (8.4.6) законно. Так как объединение и пересечение допустимых подгрупп - - допустимые подгруппы, то все подгруппы, встречающиеся в доказательстве, допустимы. AL и Д - ПЙ / трансформируется в себя элементами подгруппы Д П - Sj-i - Аналогично В. [22]
Покажем теперь, что если в G имеется возрастающий нормальный ряд из Г - допустимых подгрупп, стабильный относительно некоторой подгруппы 2 из Г, то эта подгруппа 2 принадлежит радикалу представления. [23]
Согласно теореме 3.3.5.1 при нашем ограничении в G имеется центральная система из Г - допустимых подгрупп. Это возможно лишь в том случае, когда G - абелева Г - группа. Такая Г - группа является строго простой. [24]
После удаления повторений в этом ряде мы получим в Я ряд из 2 - ДОпустимых подгрупп, в каждом факторе которого Y действует как квазистабильное множество. Так как все эти факторы - счетные группы, то теперь можно заключить, что относительно каждого из них Y - стабильное множество. [25]
Легко видеть, что в G имеется Ф - стабильный ряд из Г - и Й - допустимых подгрупп, являющийся центральным рядом в G. Доказательство проводится индукцией по длине такого ряда. [26]
Из перестановочности элементов из Г и 2 следует, что Г - центр группы G является Й - допустимой подгруппой. Пусть для всех [ 3 а у уже доказано, что все Я. Очевидно тогда, что и Я - Г - допустимая подгруппа. [27]
Так как Ф имеет конечное число образующих, то в G / Я имеется локальная система из Ф - допустимых подгрупп Gp / Я, относительно каждой из которых Ф финитно стабильна. Gp, 2j - Так как подгруппы [ Gp, 2j по всем ( 3 составляют, очевидно, локальную систему в [ G, 2j то утверждение доказано. [28]
Пусть ( G, Г) - групповая пара и пусть в группе G имеется возрастающий нормальный ряд [ GJ из - допустимых подгрупп, такой, что квазистабильные радикалы группы Г относительно всех Ga 1 / Ga сами квазистабильны. [29]
Пусть ( G, Г) - групповая пара и пусть в радикале R ( G) имеется возрастающий ряд из - допустимых подгрупп с факторами конечных рангов. Тогда, если каждый элемент из Г является квазистабильным, то вся группа Г стабильна. [30]