Cтраница 3
Пусть для любой подгруппы с конечным числом образующих Га с Г в радикале R ( G) имеется локальная система из Т - допустимых подгрупп конечного ранга. Тогда произведение всех квазистабильных нормальных делителей из Г также является квазистабильным нор-маль Пым делителем. [31]
Действительно, в этом случае для любой подгруппы Га из Г с конечным числом образующих в радикале R ( G) имеется локальная система из - допустимых подгрупп с конечным числом образующих. Все такие подгруппы, будучи нильпотентными, имеют конечный ранг. [32]
Допустим, что G - некоторая группа, Г - группа ее автоморфизмов, [ / / J - некоторый возрастающий нормальный ряд в G из Г - допустимых подгрупп и, наконец, 2 - Г - централизатор этого ряда. S является стабильной и, следовательно, Z-группой, а Г / 2 - подпрямое произведение групп автоморфизмов Га, индуцируемых группой Г в факторах указанного ряда. В таком случае, поскольку 2 действует тождественно как в радикале - ( G), так и в GjR ( G), этот Г - централизатор оказывается абелевой группой. Таким образом, мы видим, что основной интерес должен быть сосредоточен на группах автоморфизмов локально нильпотентных групп и на группах автоморфизмов полупростых групп. [33]
Если, например, элементы некоторого кольца ( рассматриваемого как аддитивная группа) рассматривать как правые операторы, где аВ вновь означает произведение в кольце, то в качестве допустимых подгрупп получатся правые идеалы. [34]
Если, например, элементы некоторого кольца ( рассматриваемого как аддитивная группа) рассматривать как правые операторы, где аб вновь означает произведение в кольце, то в качестве допустимых подгрупп получатся правые идеалы. [35]
Эта теорема вместе с ее доказательством справедлива для нормальных рядов произвольной группы О, причем, если G - группа с областью операторов Q, то в качестве подгрупп рассматриваются только допустимые подгруппы. Q состоит из одного тождественного оператора. [36]
Допустим еще, что в ( G, Ф) имеется локальная система подпар ( Ga, Фа) таких, что в Ga имеется стабильная относительно пересечения Фа П Г нормальная система Ф - допустимых подгрупп. Тогда и в G имеется стабильная относительно Г система Ф - допустимых Q-подгрупп. [37]
Пересечение всех допустимых подгрупп является допустимой подгруппой. То же верно и для нормальных допустимых подгрупп. [38]
В указанном сейчас ряде найдется некоторый член С. Так как Gn - Г - допустимая подгруппа, то при этом очевидно также, что в Gn содержатся и все коммутаторы [ а. Обозначим, далее, Gn H, и пусть 2 - Г - централизатор этой подгруппы. Так как Г действует в Н финитно стабильно, то Г / 2 - нильпотентная группа. Нужно еще показать, что в 2 имеется центральный в Г ряд. [39]
Пусть ( G, Т) - групповая пара и пусть G - счетная локально нилъпотентная группа, обладающая локальной системой из Т - допустимых ZA-подгрупп. Тогда в G имеется возрастающий нормальный ряд из Т - допустимых подгрупп с коммутативными факторами. [40]
Из определений немедленно следует, что объединение и пересечение допустимых подгрупп - снова допустимые подгруппы. Ясно, что оператор а можно рассматривать как оператор на допустимой подгруппе. Может случиться, что два оператора, ие совпадающие на всей группе, на некоторой допустимой подгруппе действуют одинаково. Кроме того, если соответствие G - К есть гомоморфизм G на К с ядром Т, допустимым относительно эндоморфизма я, мы можем определить соответствующий оператор в К. [41]
Из ФаГ / Г Ф / Фа П г следует, что Фа П Г имеет конечный индекс в Фа и конечное число образующих. Мы знаем, что отсюда вытекает существование в G локальной системы из Ф - допустимых подгрупп с конечным числом образующих. [42]
Пусть вначале А и В - две Г - допустимые 2 4-под-группы в G и пусть А С В. Пусть, далее, в А имеется возрастающий нормальный ряд [ ylj из Г - допустимых подгрупп с коммутативными факторами. [43]
Пусть ( G, Ф) - групповая пара и пусть Г - квазистабильный нормальный делитель в Ф такой, что Ф / Г - - локально конечная группа. Тогда, если G - локально ниль-потентная группа, удовлетворяющая условию минимальности для Ф - допустимых подгрупп, то G является ZA-группой и Г - стабильная группа. [44]
Мы будем называть группу G порядка / а с группой операторов F центрально-диспозиционной, если ее центр является диспозиционной группой. Таким образом, центр группы G должен иметь следующую структуру: он должен распадаться в прямое произведение допустимых подгрупп, каждая из которых должна являться прямым произведением m сопряженных относительно F циклических подгрупп. Очевидно, что понятия центрально-диспозиционной группы и нильпо-тентной диспозиционной группы совпадают для абелевых групп, но, как мы увидим дальше, неабелевы нильпотентные диспозиционные группы не являются, вообще говоря, центр ально-д испозицион-ными. [45]