Cтраница 4
Тогда существует открытое покрытие отрезка [ а, Ь ], из которого нельзя извлечь конечное подпокрытие. В силу сделанного предположения по крайней мере одна из этих частей не может быть покрыта конечным числом интервалов рассматриваемого покрытия. Обозначим [ at, 6J ту из частей отрезка la, b ], которая не покрывается конечным числом интервалов покрытия. Если каждая из частей отрезка [ а, Ь ] не может быть покрыта конечным числом интервалов, то выбираем любую из них. Отрезок [ a, b ] снова делим пополам. Обозначим [ а2, Ь2 ] ту из частей отрезка [ at, bj, которая не покрывается конечным числом интервалов рассматриваемого покрытия. Продолжая и дальше процесс последовательного деления отрезка ( а, Ь ], получим последовательность вложенных отрезков [ а, Ъп ], каждый из-которых не покрывается конечным числом интервалов рассматриваемого покрытия. [46]
Топологическое пространство называется компактным, если оно отделимое и каждое открытое покрытие в нем содержит конечное подпокрытие. [47]
Если - предбаза топологии пространства X и каждоеt ( fjf - покрытие пространства X содержит конечное подпокрытие, то пространство X компактно. [48]
Каждое компактное топологическое пространство паракомпактно, так как из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, которое вписано в данное покрытие и локально конечно. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. [49]
Напомним, что те топологические пространства, для которых из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, называются бикомпактными. [50]
Множество А компактно в множестве В, если из каждого открытого в В покрытия можно выделить конечное подпокрытие. [51]