Cтраница 2
Согласно теореме 1 этого параграфа каждому корню k характеристического уравнения отвечает одномерное инвариантное подпространство, если К вещественно, и двумерное-если А комплексно. Поэтому, для доказательства леммы достаточно показать, что все X вещественны. [16]
Итак, если х - собственный вектор, то векторы ах образуют одномерное инвариантное подпространство. [17]
L В действительном линейном пространстве L для любого линейного преобразования существует либо одномерное инвариантное подпространство, либо двумерное инвариантное подпространство, причем такое, что индуцированное в нем преобразование имеет положительный детерминант. [18]
Итак, если х - собственный вектор, то векторы си; образуют одномерное инвариантное подпространство. [19]
Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат основному полю, то каждое инвариантное подпространство содержит одномерное инвариантное подпространство. [20]
Получается, что Л2у aAv / 3v, а так как Av ф Av ( одномерного инвариантного подпространства нет), то L ( v, Av) - двумерное инвариантное подпространство. [21]
Доказательство свойства г): если преобразование ф имеет число 0 собственным значением, то имеется одномерное инвариантное подпространство. В противном случае переходим к унитарному пространству. [22]
Покажем, что для того, чтобы найти все такие относительные инварианты /, достаточно описать одномерные инвариантные подпространства для действия группы GLn ( C) на некотором другом линейном пространстве. [23]
Доказательство свойства г): если преобразование ф имеет число 0 собственным значением, то имеется одномерное инвариантное подпространство. В противном случае переходим к унитарному пространству. [24]
Мы видели, что каждое одномерное инвариантное подпространство определяется собственным вектором иг наоборот, каждый собственный вектор определяет одномерное инвариантное подпространство. [25]
Предположим, что данная квадратная матрица А порядка п имеет кратное собственное - значение К, соответствующее некоторому одномерному инвариантному подпространству. [26]
Мы видели, что каждое одномерное инвариантное подпространство определяется собственным вектором и, наоборот, каждый собственный вектор определяет одномерное инвариантное подпространство. [27]
Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю, над которым построено линейное пространство, и оператор имеет только одно одномерное инвариантное подпространство, то все пространство не может быть представлено в виде прямой суммы инвариантных подпространств, каждое из которых отлично от нулевого подпространства. [28]
Если характеристический многочлен преобразования si - имеет хотя бы один вещественный корень, то это преобразование имеет собственный вектор и, значит, одномерное инвариантное подпространство. Предположим теперь, что все корни характеристического многочлена преобразования si - комплексны, и пусть К а. [29]
Поскольку многочлен с вещественными коэффициентами не обязательно имеет хотя бы один вещественный корень, то в вещественном пространстве не для всякого линейного оператора найдется хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство. [30]