Cтраница 3
Как и всякий вещественный оператор, Л обладает одномерным или двумерным собственным подпространством ( теорема 7 из § 3 гл. Существование одномерного инвариантного подпространства совпадает с утверждением леммы. Рассмотрим случай, когда L - двумерное инвариантное подпространство. [31]
При этом особый интерес представляют одномерные инвариантные подпространства. [32]
Как было отмечено в конце п 60, вполне непрерывный оператор может не иметь ни одного собственного вектора. Поэтому он может не иметь ни одного одномерного инвариантного подпространства. Но отсюда вовсе не следует, что у этого оператора вообще нет инвариантных подпространств. [33]
Координатные оси X и У являются в этом случае одномерными инвариантными подпространствами. Если Х1 Я 2Х, го А является преобразованием подобия с коэффициентом подобия А. В этом случае каждая прямая, проходящая через начало координат, является инвариантным подпространством. [34]
Преобразование А заключается в растяжении плоскости в AJ раз вдоль оси X и в А2 раз вдоль оси У. Координатные оси X и Y являются в этом случае одномерными инвариантными подпространствами. А, то А является преобразованием подобия с коэффициентом подобия А. В этом случае каждая прямая, проходящая через начало координат, является инвариантным подпространством. [35]
С нижними знаками матрица является симметрической. Поэтому ортогональное преобразование второго рода самосопряженное и, следовательно, имеет два одномерных инвариантных подпространства. [36]
С нижними знаками матрица является симметрической. Поэтому ортогональное преобразование второго рода самосопряженное и, следовательно, имеет два одномерных инвариантных подпространства. Это противоречит сделанному выше предположению. [37]
Предположим теперь, что теорема доказана для пространств размерности k - 1, и докажем ее для й-мерных пространств. Согласно теореме 1 самосопряженное преобразование А в Sk имеет по крайней мере одно собственное значение1), и следовательно, хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство. В силу теоремы 3 ортогональное дополнение Sk - л подпространства Sl является ( k - 1) - мерным подпространством, также инвариантным относительно А. [38]
В случае вещественного пространства эта теорема неверна. Например, поворот плоскости вокруг начала координат на угол, отличный от kn, представляет собой линейное преобразование, не имеющее ни одного одномерного инвариантного подпространства. [39]
Предположим теперь, что теорема доказана для пространств размерности А-1, и докажем ее для / с-мерных пространств. Согласно теореме 1 самосопряженное преобразование А в & h имеет по крайней мере одно собственное значение1) н, следовательно, хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство. [40]
С нижними знаками матрица является симметрической. Поэтому ортогональное преобра зование второго рода самосопряженное и, следовательно, имеет два одномерных инвариантных подпространства. Это противоречит сделанному выше предположению. [41]
Замкнутое линейное множество Е d X называется инвариантным подпространством оператора U, если U ( E) cr E. Очевидно, что 0 и X - инвариантные подпространства. Наличие у оператора собственного вектора означает, что оператор обладает одномерным инвариантным подпространством. Однако даже компактный оператор может не иметь ни одного собственного вектора. [42]