Cтраница 3
Доказать, что если матрица линейного оператора приводится к жордановой форме, то всякое инвариантное подпространство является прямой суммой своих пересечений с его корневыми подпространствами. [31]
В частности, если все собственные значения простые, то ( f / f /) О ПРИ любом выборе ненулевого векторa f / в каждом корневом подпространстве и ( f /, f /) l при надлежащей нормировке этих векторов. Добавим к сказанному, что если ( Нт8л ( А) 1, то скалярные произведения ( f, f) для ненулевых векторов f e 8Л ( К) не обязательно отличны от 0, даже если в 8Л ( X) нет присоединенных векторов. [32]
Если IJL - собственное значение оператора U ( или оператора А), то соответствующее собственное подпространство E ( U ( или Е ( А) совпадает с корневым подпространством. [33]
Так, всякий полюс резольвенты - собственное значение, подъем к - poro ( максимальная из длин корневых Цепочек) равен порядку полюса; соответствующее спектральное подпространство является корневым подпространством. В случае операторов, действующих в конечномерных пространствах, это приводит к разложению оператора в прямую сумму жордановых клеток, построенных по корневым цепочкам. Аналоги жорданова представления занимают важное место и в общей С. Однако возможность такого разложения не универсальна - существуют операторы, решетка инвариантных подпространств и спектр к-рых устроены слишком сложно, чтобы их можно было считать элементарными клетками, в то же время не обладающие ни одной парой непересекающихся инвариантных подпространств. Более того, неизвестно ( 1984), всякий ли ограниченный оператор ( в пространстве, размерность к-рого больше 1) обладает нетривиальным инвариантным подпространством. [34]
Таким образом, спектральное подпространство L ImP - вполне приводящее Если Q состоит из одной точки л и L конечномерно, то л - нормальное собственное значение, L - соответствующее максимальное корневое подпространство. [35]
Если ц - собственное значение оператора U ( или оператора А), то соответствующее собственное подпространство E ( U) ( или Е ( А)) совпадает с корневым подпространством. [36]
Все векторы v, которые соответствуют фиксированному корню А, порождают некоторый модуль 53V, аннулирующийся степенью многочлена х - А ( § 86); этот модуль ( на языке векторных пространств) называется корневым подпространством корня К. Весь модуль 5Л является прямой суммой таких корневых подпространств. [37]
Все векторы v, которые соответствуют фиксированному корню Ъ, порождают некоторый модуль 9 v, аннулирующийся степенью многочлена х - А ( § 86); этот модуль ( на языке векторных пространств) называется корневым подпространством корня К. Весь модуль Ш является прямой суммой таких корневых подпространств. [38]
В этом параграфе используются понятия: инвариантное подпространство, ограничение линейного преобразования на инвариантном подпространстве, собственное значение, собственный вектор и собственное подпространство линейного преобразования, характеристический многочлен и характеристическое число матрицы линейного преобразования, диагонализируемое линейное преобразование, аннулирующий многочлен, минимальный аннулирующий многочлен матрицы ( линейного преобразования), корневой вектор, корневое подпространство, нилъпотентное преобразование, циклическое подпространство, жорданова цепочка, жорданов базис, жор-данова клетка, жорданова матрица. [39]
Спектр вещественного симплектического преобразования симметричен относительно единичной окружности и вещественной оси. Корневые подпространства, соответствующие симметричным собственным числам, имеют одинаковую жорданову структуру. [40]
Индексом я ( Я) собственного функционала Я называется наименьшее неотрицательное число р, для которого F. Я называется корневым подпространством оператора А, отвечающим собственному функционалу Я. [41]
Сами по себе жордановы формы не так важны, как методы, с помощью которых они изучаются. Поэтому аннулирующие многочлены, корневые подпространства и прочие фокусы - это не столько инструменты, необходимые для изучения жордановых форм, сколько эффективные категории мышления при изучении более высоких этажей линейной алгебры. [42]
Рассмотрим в пространстве Mnxm ( C) оператор LA -, где LA ( X) АХ. Найти собственные значения LA-Найти корневые подпространства оператора LA -, где А - верхнетреугольная матрица. [43]
Здесь, как легко проверить, Т является картановской подалгеброй в G, a R - ортогональным дополнением. Следовательно, R натянуто на корневые подпространства. [44]
В качестве же базиса каждого корневого подпространства Rt мы возьмем векторы типа (74.4), упорядоченные подряд снизу вверх и слева направо. Базис пространства, построенный таким образом, называется корневым базисом. [45]