Cтраница 4
Решение существует для любой правой части Ъ тогда и только тогда, когда г т; в этом случае матрица U не имеет нулевых строк и система Ux - c может быть решена с помощью обратной подстановки. Если существует одно решение системы Ах Ь, то любое другое решение этой же системы отличается от первого на вектор из нуль-пространства матрицы А. [46]
Это нетрудно доказать, проверяя выполнение свойств 1) - 3), определяющих группу; произведение подстановок опять будет подстановкой; роль единицы будет играть тождественная подстановка; для любой подстановки / г-й степени существует обратная подстановка; операция умножения подстановок ассоциативна. [47]
К этой величине нужно прибавить я3 / 3 действий, требуемых для проведения один раз процесса исключения для матрицы А, и п ( л2 / 2) действий, которые требуются на последнем этапе для нахождения xt обратными подстановками независимо от того, осуществляются ли они отдельно для каждой правой части или одновременно, как в методе Гаусса-Жордана. [48]
Уравнения (3.361) образуют большую систему линейных алгебраических уравнений, однозначно определяющую распределение поверхностной плотности заряда. Обратная подстановка этого распределения в (3.360) дает потенциал в любой точке пространства. Таким образом, распределение плотности заряда осуществляет связь между потенциалами электродов и распределением потенциала во всем пространстве. [49]
На каждом шаге редукции в строках исключаются только коэффициенты на главной диагонали и правая часть, поскольку остальные коэффициенты равны нулю. При обратной подстановке каждый диагональный элемент, расположенный рядом с главной диагональю, умножается на предварительно вычисленный элемент вектора решения и вычитается из правой части системы уравнений, а полученная разность делится на коэффициент главной диагонали. [50]