Cтраница 3
Например, в [123] рассмотрен численный метод определения Нэш-равновесного позиционного управления ( стратегии) в многошаговой аппроксимации игры с конечным множеством стратегий. В [169, 374] формируются методы приближенных вычислений в играх и нелинейном программировании, а также алгоритм определения Нэш-равновесия на основе нелинейного программирования. В [234] предлагается эвристический численный подход поиска аппроксимации Роуза-Нэш и седлового решения. Седловая точка вычисляется в [398] в рамках нелинейной дифференциальной игры. В [397] в классе слабо связанных систем предложен итеративный алгоритм с учетом малого параметра при определении Нэш-равновесия. [31]
Из того, что напряжения у вершины трещины изменяются как г - 1 / 2, вытекает, что раскрытие трещины вблизи ее вершины оказывается пропорциональным х1 / 2, где х - расстояние, измеряемое от вершины вдоль трещины. Для задачи о трещине под давлением это позволяет разработать специальный элемент для конца трещины ( концевой элемент), в котором относительное нормальное смещение берегов йу задается формулой йи ( х) Du ( х / а) 1 / 2, где 2а - длина концевого элемента, a Dy - разрыв смещений в его центре. Мы можем тогда развить численный подход, в котором трещина делится на обыкновенные элементы разрывов смещений в соответствии с § 5.3, за исключением двух специальных концевых элементов - по одному у каждого края трещины. [32]
Рассматриваются задачи о продольных нестационарных колебаниях вязкоупругого стержня конечной длины, удар вязко-упругого стержня о жесткую преграду и распространение волн напряжений в полу бесконечном вязкоупругом стержне. В качестве модели, описывающей вязкоупругие свойства материала стержня, используется обобщенная модель стандартного линейного тела, содержащая дробные производные различных порядков. Задачи решаются методом преобразования Лапласа, при этом в отличие от традиционных численных подходов характеристическое уравнение не рационализируется, а решается непосредственно с дробными степенями. Проведено численное исследование указанных задач. Временные зависимости напряжения и контактного напряжения в стержне, соответствующие первой и второй задачам, проанализированы для различных значений реологических параметров - порядков дробных производных и времени релаксации. Исследования показали, что стержень не прилипает к стенке ни при каких значениях реологических параметров. В задаче о распространении волн напряжений получены асимптотические решения вблизи волнового фронта и при малых значениях времени. Показано, что данная модель может описывать как диффузионные, так и волновые явления, протекающие в вязкоупругих материалах. Все зависит от соотношения порядков производных, стоящих слева и справа в реологическом уравнении. [33]
Выбор параметров, характеризующих разрушение материала, о которых шла речь в предшествующих разделах при исследовании различных частных аспектов проблемы распространения трещины, кардинальным образом влияет на возможность эффективно решить математическую задачу, которая формулируется как модель данного процесса. Сложность таких задач хорошо известна. Аналитических решений, которые можно указать a priori, известно очень мало, и поэтому ключевую роль в развитии данной области исследований играют численные подходы. В этом разделе будут приведены типичные примеры известных-аналитических и численных решений. [34]
Главное их достоинство - универсальность, так как формальные ограничения на конфигурацию рассеивателей в большинстве из них отсутствуют. Однако практическая реализация прямых методов наталкивается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приближенных решений к точному и явлениями неустойчивости соответствующих алгоритмов. Эффективность прямых методов особенно резко падает при наличии ребер на контурах поперечного сечения образующих решетки и расчете амплитуд высших пространственных гармоник поля. Обычно прямые численные подходы требуют большого объема вычислений и даже на современных ЭВМ уже при / А трудно получить с их помощью исчерпывающие данные о каком-либо дифракционном эффекте или явлении. [35]
Применимость всех численных методов ограничена тем, что при вычислениях можно использовать лишь конечный набор значений поля на опорной плоскости. Это приводит к появлению ошибок, особенно существенных в тех случаях, когда подынтегральные функции являются быстроменяющимися. К сожалению, в большинстве случаев дифракционная картина в дальней области при рассеянии света на препятствиях состоит из контрастных и узких пиков. При этом численный подход становится крайне трудоемким из-за необходимости использования множества конкретных значений поля. [36]
Наибольший интерес у большинства читателей, несомненно, вызовут пятая и шестая главы книги. Обе эти главы посвящены описанию численных методов и алгоритмов, используемых для анализа нелинейных систем. При этом в пятой главе исследуются системы с сосредоточенными параметрами, а в шестой - системы с распределенными параметрами. Рассмотренные в этих главах численные подходы иллюстрируются на конкретных примерах - задачах из гл. [37]
Кристенсена [31] используют способ прочтения списков для отыскания минимального числа рецикловых параметров, которые должны предполагаться известными. Рубин [162] сделал свой собственный контрпример, а Ли и др. [111] вынуждены были разработать методики для некоторых случаев. Алгоритм Кристенсена дает возможность находить наилучшую последовательность там, где другие методы бесполезны. Для того чтобы проиллюстрировать идеи, на которых основан численный подход, матрица процесса и матрица циклов Ли и др. [111] используются поочередно для рециркуляционной последовательности блоков фиг. [38]
В монографии систематизированы и обобщены сведения о концентрированных вихрях, наблюдаемых в природе и технике. Рассмотрены основные методы исследования их кинематики и динамики. Особое внимание уделено течениям с винтовой симметрией. Описаны модели вихревых структур, применяемые при интерпретации экспериментальных данных и служащие базисом для развития теоретических и численных подходов к изучению вихрей. Представлены достижения в области анализа устойчивости, ноли на вихрях и явление распада вихря. [39]
Сейчас уже достаточно ясно, что, хотя задача и является кусочно-линейной, геометрические выкладки становятся слишком сложными и следует переходить к численному решению. Yn) очень больших значений Y - На графике для малых п функция ф при достаточно большом Y была постоянной, и это не приводило к затруднениям, но непосредственно численный подход мог бы и не установить этого постоянства. [40]
Иначе обстоит дело в случае нелинейных моделей. Это объясняется прежде всего рядом новых явлений, с которыми мы здесь встречаемся. Так, нелинейные модели часто имеют не одно, а несколько стационарных решений; далее, для них возможно существование колебательных решений типа предельного цикла, появление хаотических решений и, наконец, критическое поведение решения в зависимости от параметров. Характерными признакам нелинейных задач являются: богатый набор различных типов поведения; специфичность определенного типа поведения для определенной задачи ( модели) или в определенном диапазоне изменения параметров; необходимость применения численных подходов для нахождения характеристик решения. [41]
Исследованию свободных колебаний изотропной пластинки ступенчатой толщины уже посвящено некоторое число работ. В работе [1] исследованы осесимметричные колебания кольцевой пластинки со свободным внешним краем. В работе [2] использован аналитический метод для вычисления собственной частоты колебаний шарнирно опертой прямоугольной пластинки. В работе [3], однако, показано, что используемые в [2] соотношения непрерывности являются неточными. В работах [4, 5] предложен численный подход для прямоугольной пластинки с закрепленными сторонами, упруго сопротивляющимися вращению. [42]
Ясно, что изложенный метод решения граничных задач для уравнения Лапласа является весьма общим. Функции fug могут быть в достаточной степени произвольными, и поверхность дБ тела В может иметь весьма нерегулярную форму. Однако для большинства представляющих практический интерес задач об аналитическом решении уравнения ( 4) не может быть и речи. В силу этого надлежит искать эффективные численные подходы, что может быть достигнуто различными методами. Один из таких методов, очевидно простейший и в то же время неожиданно хорошо работающий, описывается ниже. [43]
Рассмотрим основные процессы переноса теплоты с точки зрения их использования при проектировании теплообменников. Приведенные в предыдущем параграфе уравнения позволяют находить мгновенные локальные значения потоков. Для расчета полного потока через поверхность теплообменника необходимо выполнить интегрирование по временной и пространственным координатам. Такое интегрирование, если проводить его строго, требует совместного решения взаимосвязанных дифференциальных уравнений. В настоящее время для решения подобных задач разработано несколько программ. Наряду с численным подходом в конструкторской практике используются также и приближенные аналитические методы, позволяющие получать разумное первое приближение, во многих случаях обеспечивающие достаточно точные результаты. [44]