Cтраница 2
При аксиоматическом подходе формулировки свойств ( теперь аксиом) должны быть несколько видоизменены. [16]
Дедуктивность и аксиоматический подход являются для нас наиболее поразительной, наиболее характерной чертой гречесюй математики. [17]
Коронным достижением аксиоматического подхода является теория совершенной конкуренции. Невзирая на то, что она была впервые предложена около двухсот лет назад, она ни разу не была превзойдена; усовершенствован был только метод анализа. Теория утверждает, что при некоторых, вполне определенных обстоятельствах неограниченное стремление к удовлетворению собственных интересов приводит к оптимальному распределению ресурсов. Точка равновесия достигается, когда уровень производства компании таков, что предельные затраты равны рыночной цене товара, а каждый потребитель при покупке получает такое количество товара, что его общая предельная полезность равна его рыночной цене. Исследования показывают, что состояние равновесия максимизирует выгоды всех участников при условии, что ни один покупатель или продавец не может повлиять на рыночные цены. [18]
Первая попытка аксиоматического подхода к измерению трудности вычислений была сделана Рабином [3, 4], который аксиоматизировал понятие меры на доказательствах и длины вычисления функции и получил некоторые начальные результаты для этих мер. Первое систематическое исследование одной специфической меры сложности вычислений и изучение соответствующих классов сложности принадлежит Хартманису и Стирнзу [5, 6], которые дали также название сложность вычислений этой новой области исследований. В докладе Кобхэма [7] обсуждалась важность исследования количественных аспектов вычисления и приводились некоторые дальнейшие, результаты. [19]
Относительная ценность аксиоматического подхода, используемого в этой главе, видна особенно отчетливо, когда его результат сравнивается с фракталом, полученным рекурсивно. Представьте себе, например, что вы исследуете какой-то конкретный случай, требующий построения плоской фрактальной кривой, размерность D которой лежит где-то между 1 и 2, и не можете решить, какой метод для этого использовать: процесс срединного смещения из главы 26 или процесс, описываемый ниже. В первом неизбежны складки, тогда как второй лишен этого недостатка. А последовательность дискретных этапов, из-за которой рекурсивные построения представляются столь привлекательными, оборачивается в большинстве случаев возникновением слоев, не имеющих никакого смысла, а зачастую и вовсе нежелательных. [20]
Вторая глава представляет аксиоматический подход к логике и служит введением в теории первого порядка. В ней показано, как исчисление предикатов превращается в основу теории для изучения специфических математических структур. В этом контексте изложены некоторые фундаментальные вопросы логики, естественным образом продолжающиеся в теоретическую информатику. В частности, это касается алгоритмических языков Тьюринга и Геделя, тезиса Черча, класса вычислимых функций и понятия разрешимости. [21]
Наиболее серьезные недостатки аксиоматического подхода связаны с критериями понимаемости и конструктивности. Устранение этих недостатков возможно при использовании более структурированного подхода, основанного на использовании многосортной логики предикатов. [22]
С точки зрения аксиоматического подхода математика занимается исключительно соотношениями между неопределяемыми объектами. Эту сторону дела хорошо поясняет пример игры в шахматы. Невозможно определить шахматы иначе, как сформулировав систему правил игры. Можно до некоторой степени описать условную форму фигур, но не всегда ясно, например, какая из них является королем. Шахматная доска и фигуры полезны, но можно обойтись и без них. Суть дела состоит в том, как ходят и действуют фи гуры, и бессмысленно говорить об определении или истинной природе пешки или короля. [23]
В других разделах математики аксиоматический подход был принят значительно раньше, чем в теории вероятностей. [24]
В пятой главе принят аксиоматический подход, столь характерный для современной алгебры. Булевы алгебры определяются формально системой аксиом; из этих аксиом выводятся их свойства. Объясняются связи булевых алгебр с логикой, теорией вентильных схем и программированием на АЛГОЛе, после чего выводится каноническая форма для булевых многочленов. Основная тема шестой главы-оптимизация. Здесь сначала описываются способы отыскания минимальных путей в графах. После этого вводятся методы описания вентильных схем, важных для проектирования ЭВМ, и способы их упрощения с помощью булевых многочленов. [25]
В § 3 развивается аксиоматический подход, позволяющий представить самоорганизацию неравновесной системы как при термодинамическом, так и кинетическом превращениях. [26]
Работы, посвященные основаниям и аксиоматическому подходу к булевской алгебре. [27]
В этом разделе предложен и применен аксиоматический подход к суммированию свидетельств с учетом их возможной зависимости друг от друга. [28]
Дифференциальный по константе связи метод и аксиоматический подход в квантовой теории поля. Существенной чертой полученных уравнений является их универсальность: они не содержат явным образом никаких величин, конкретизирующих рассматриваемую систему. [29]
Изложение в настоящей книге основано на аксиоматическом подходе Колмогорова. При этом, чтобы формально-логическая сторона дела не заслоняла интуитивных представлений, наше изложение начинается с элементарной теории вероятностей, элементарность которой состоит в том, что в соответствующих вероятностных моделях рассматриваются эксперименты лишь с конечным числом исходов. После этого мы даем изложение основ теории вероятностей в ее наиболее общем виде. [30]