Cтраница 2
Позитивность рассматриваемого скалярного произведения вытекает из позитивности функционала 0, а для его невырожденности ( ( Р, Р) 7 0 при Рт 0) необходимо и достаточно, чтобы множество точек роста функции а было бесконечным, что, в свою очередь, эквивалентно бесконечности ранга матрицы М и впредь предполагается. Из сказанного следует, что система ортогональных полиномов ( Pk ( x)) o00 однозначно определяется моментами ( mfe) o даже в неопределенном случае. [16]
Мы будем часто пользоваться следующим критерием позитивности полугруппы. [17]
Следующее предложение показывает, что в случае позитивности С0 - полугруппы Т ( 0 оо области определения 3) ( А) и S8 ( А), где Л - сопряженный оператор к оператору А, содержит достаточно много положительных элементов. [18]
В следующем разделе приводятся два простых условия позитивности оператора А. [19]
Ватте и Циммерман) нормативны в вопросе о позитивности в обучении. Они предписывают, что авторы учебников и преподаватели должны описывать практику. Они также нормативны в вопросе о позитивности в исследовании и теоретизировании. Они предписывают, что теоретики и исследователи должны описывать практику... Напрашивается аналогия с бабушками, которые уверены, что воспитывать детей, позволяя им как можно больше, хорошо ( а наставления вредны), но своим детям дают наставления воспитывать так же и внуков, противореча тем самым собственному убеждению... Почему им так нужно становиться нормативными в вопросе о позитивности. [20]
Для вполне непрерывного самосопряженного в Н оператора А его потенциальная позитивность означает, что у оператора А есть не более конечного числа отрицательных собственных значений. [21]
Доказательство следует из замечания 1.3.1, теоремы 1.3.3 и определения строгой позитивности. [22]
Фактически Саймон показал ( см. Simon [ 19771), что позитивность сжимающей полугруппы, порожденной неотрицательным самосопряженным оператором А в L2 ( и. В этом случае неравенство Като тесно связано с так называемым критерием положительности Берлинга - Дини ( см., например, Reed, Simon [1978], теорема XIII. В работе Nagel, Uhlig [1981] было высказано предположение, что абстрактное неравенство Като ( подходящим образом сформулированное) характеризует позитивность С0 - полугрупп в банаховых структурах. [23]
Теорема 27.5. Пусть непрерывный оператор А позитивен в L2 с коэффициентом позитивности i ( A L2), причел ( Ax. [24]
Как замечено ранее, для того чтобы неравенство Като влекло за собой позитивность полугруппы, порождаемой оператором А, мы должны наложить условие, обеспечивающее то, что 2 ( А) содержит достаточно много положительных элементов. Действительно, генератор в примере 7.32 ( i) удовлетворяет неравенству Като, 2 ( А) является - слабо плотным в ( Х) и 2 ( А) плотно в Х в исходной норме, хотя полугруппа не позитивна. Для того чтобы сформулировать достаточные условия на 2 ( А), удобно ввести дополнительную терминологию. Заметим, что множество ( Х) строго положительно. X называется строго положительным, если множество К - ф является строго положительным. [25]
Основное предположение, которое приходится делать об операторе А, - это его позитивность или полуограниченность. [26]
Приведем пример, показывающий, что шеститочечная симметричная схема (4.2.6) не обладает свойством позитивности. [27]
Следовательно, неравенства а20: и b 0 необходимы и достаточны не только для позитивности оператора периодической задачи, но и для его сильной позитивности. [28]
В гильбертовом пространстве тесно примыкает к неравенству Като так называемый критерий Берлинга - Дини позитивности полугрупп, порождаемых самосопряженными неотрицательными операторами. [29]
Таким образом, чтобы не затеряться в бессмысленных словесных построениях, надо всегда руководствоваться условием позитивности, состоящим в том, что познавательное суждение всегда содержит в себе сопоставление или противопоставление утверждающих и отрицающих суждений. [30]