Cтраница 3
Часть группы, являющаяся полугруппой, называется подполугруппой этой группы. Поскольку закон сокращения в каждой группе имеет место, то любая подполугруппа группы также удовлетворяет закону сокращения. Таким образом, наличие закона сокращения является необходимым условием для вложимости полугруппы в группу. Поэтому представляет интерес нахождение более или менее широких классов полугрупп, для которых выполнение закона сокращения является достаточным для вложимости в группу. Классическим примером этого является теорема о том, что всякая абелева полугруппа с законом сокращения вложима в абелеву группу. [31]
Полугруппа будет регулярной тогда и только тогда, когда для любого ее левого идеала L и любого правого идеала R имеет место RL Rf ] L. Следующие условия для полугруппы 5 эквивалентны: ( 1) S регулярна и унипотентна, ( 2) S регулярна и удовлетворяет закону сокращения, ( 3) 5 есть группа. [32]
Часть группы, являющаяся полугруппой, называется подполугруппой этой группы. Поскольку закон сокращения в каждой группе имеет место, то любая подполугруппа группы также удовлетворяет закону сокращения. Таким образом, наличие закона сокращения является необходимым условием для вложимости полугруппы в группу. Поэтому представляет интерес нахождение более или менее широких классов полугрупп, для которых выполнение закона сокращения является достаточным для вложимости в группу. Классическим примером этого является теорема о том, что всякая абелева полугруппа с законом сокращения вложима в абелеву группу. [33]
Прежде всего необходимо убедиться в том, что предложенный нами алгоритм действительно порождает подстановку. То, что при заданном g и соответствующим образом выбранном х можно получить любой элемент о группы G, следует из разрешимости уравнений xg - а для группы. То, что при отображении х - xg различные элементы переходят в различные, следует из закона сокращения. [34]
В антиизоморфна Л, так как антиизоморфные полугруппы также решеточно изоморфны. Классический пример решеточной определяемое доставляет первая основная теорема проективной геометрии ( см. [1]), где в качестве А рассматриваются векторные пространства над телами. Решеточно определяющимися являются также всякая абелева группа, содержащая два независимых элемента бесконечного порядка, всякая свободная группа ( свободная полугруппа) и группа ( полугруппа), нетривиально разложимая в свободное произведение, всякая нильпотентная группа без кручения, всякая коммутативная полугруппа с законом сокращения и без идемпотентов, всякая свободная полугруппа идемпотентов, свободная полурешетка более чем с двумя свободными образующими. [35]
Весьма близкими к абелевым, но значительно более сложными являются нильпотентные и затем разрешимые группы. Ввиду большой роли этих классов групп в общей теории групп, естественно, возникает вопрос об определении понятия нильпотентности и разрешимости и для полугрупп. При этом оказывается, что каждая нильпотентная полугруппа с законом сокращения допускает вложение в нильпотентную группу. В заключение дается доказательство невозможности введения понятия разрешимых полугрупп, удовлетворяющего некоторым естественным требованиям. [36]
Часть группы, являющаяся полугруппой, называется подполугруппой этой группы. Поскольку закон сокращения в каждой группе имеет место, то любая подполугруппа группы также удовлетворяет закону сокращения. Таким образом, наличие закона сокращения является необходимым условием для вложимости полугруппы в группу. Поэтому представляет интерес нахождение более или менее широких классов полугрупп, для которых выполнение закона сокращения является достаточным для вложимости в группу. Классическим примером этого является теорема о том, что всякая абелева полугруппа с законом сокращения вложима в абелеву группу. [37]
Часть группы, являющаяся полугруппой, называется подполугруппой этой группы. Поскольку закон сокращения в каждой группе имеет место, то любая подполугруппа группы также удовлетворяет закону сокращения. Таким образом, наличие закона сокращения является необходимым условием для вложимости полугруппы в группу. Поэтому представляет интерес нахождение более или менее широких классов полугрупп, для которых выполнение закона сокращения является достаточным для вложимости в группу. Классическим примером этого является теорема о том, что всякая абелева полугруппа с законом сокращения вложима в абелеву группу. [38]