Cтраница 2
Зафиксируем некоторое действительное число г 0 и рассмотрим всевозможные покрытия пространства X шарами радиуса г. Каждое такое покрытие содержит конечное подпокрытие. Сейчас мы докажем, что емкость не меняется при изометриях. [16]
Для формулировки полученного им результата условимся понимать под r - покрытием пространства такое его покрытие, что замыкание всякого элемента покрытия содержится в другом элементе покрытия. [17]
Если - предбаза топологии пространства X и каждоеt ( fjf - покрытие пространства X содержит конечное подпокрытие, то пространство X компактно. [18]
Более точные оценки Я8 ( /) вытекают из теоремы об экономном покрытии пространства шарами и о плотнейшей упаковке шаров. [19]
Поскольку утверждение, что семейство множеств G6 ( g е S) образует покрытие пространства X, равносильно тому, что пересечение дополнений F множеств GJ пусто, то пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждая центрированная система замкнутых множеств имеет непустое пересечение. [20]
Пусть X - тихоновское пространство и GIL - равномерность, порожденная семейством всех покрытий пространства X, в которые можно вписать счетное нормальное покрытие ( см. упр. Докажите, что пространство, где ( Х, 1 () - пополнение пространства ( X, fyf), является вещественной компактификацией по Хьюитту пространства X ( ср. [21]
Непрерывное отображение X - Y любых хаусдорфовых топологических пространств называется компактным, если существует покрытие пространства X такими открытыми множествами, образы которых в Y относительно компактны. [22]
Из предположения следует, что все / ( / 7J компактны и их внутренности образуют покрытие пространства X; поскольку X отделимо, это доказывает, прежде всего, его локальную компактность. [23]
Система S ( М -, / 6 / множеств М - с: X называется покрытием пространства X, если U М; X. Покрытие 5 называется открытым ( замкнутым), если оно co-it / стоит только из открытых ( замкнутых -) множеств. [24]
Топологическое пространство X называется квазикомпактным ( квази - ибо пространство не предполагается хаусдорфовым), если из каждого покрытия пространства X открытыми множествами можно выбрать конечное покрытие. Если каждое открытое подмножество пространства X квазикомпактно или, эквивалентным образом, открытые подмножества удовлетворяют условию максимальности, то X называется нете-рэвым Легко видеть, что каждое подпространство нетерова пространства само нетерово. [25]
Пусть ( At ei - семейство подмножеств топологического пространства X, внутренности которых образуют открытое покрытие последнего, или которое является локально конечным замкнутым покрытием пространства X. Если сужение f на каждое т подпространств Л, непрерывно, то f непрерывно. [26]
Нсли каждый элемент Л - покрытия S является открытым ( соответственно замкнутым) в X множеством, то 8 называется открытым ( соответственно замкнутым) покрытием пространства X. Покрытие S пространства X называется конечным, счетным или несчетным в зависимости от того, является ли множество индексов конечным, счетным или несчетным. [27]
Переходя к общему случаю, обозначим через 2 множество всех функций щ определенных на / и удовлетворяющих следующим условиям: u ( i) есть либо множество Uiy либо такое открытое множество Уг -, что VidUi, и семейство ( u ( i)) iGJ образует покрытие пространства X. Покажем сначала, что множество 2 индуктивно упоря-доченно. [28]
В основе доказательства равенства dim / лп лежит, во-первых, известная теорема Брауэра-Лебега о покрытиях n - мерного куба, во-вторых, установленная П. С. У р ы с о н о м [9,14] и Менгером эквивалентность приведенного выше индуктивного определения размерности другому, неиндуктивному определению, связанному с покрытиями пространства. Эта эквивалентность первоначально была установлена лишь для компактов, для которых второе определение размерности удобно формулируется в метрических терминах. [29]
Нсли каждый элемент Л - покрытия S является открытым ( соответственно замкнутым) в X множеством, то 8 называется открытым ( соответственно замкнутым) покрытием пространства X. Покрытие S пространства X называется конечным, счетным или несчетным в зависимости от того, является ли множество индексов конечным, счетным или несчетным. [30]