Cтраница 3
Рассмотрим покрытие G пространства X открытыми множествами. [31]
Покрытие пространства X называется локально конечным, если у каждой точки имеется окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов покрытия. Измельчение покрытия пространства X - это другое покрытие, каждый элемент которого содержится в элементе первого покрытия. Топологическое пространство называется па-п ракомпакгпным, если оно хаусдорфово и для каждого его открытого покрытия существует локально конечное открытое измельчение. [32]
Обе эти теоремы, очевидно, могут служить для характеризации п-мер-ных компактов. Роль s - отображений играют при этом а-отображения, где а-конечное покрытие пространства. Если / - непрерывное отображение пространства X в пространство У, а-конечное покрытие X, то говорят, что / есть л-отображение, если всякая точка пространства У имеет такую окрестность в У, что ее / - прообраз содержится в некотором элементе покрытия а. [33]
Условия ( CL1) - ( CL3) приписывают каждому тихоновскому пространству X число dimX, являющееся либо целым числом - 1, либо бесконечным числом оо. Число dimX называется размерностью Чеха - Лебега или размерностью в смысле покрытий пространства X. Ясно, что если пространства X и У гомеоморфны, то dimX dim У. [34]
В рамках схемы отношений, в которой мы описали этот процесс, естественное отношение F, связывающее объекты с множествами в ограниченном покрытии, к которым они принадлежат, является обратным гомоморфным образом обучающего отношения объектов. Гомоморфизмы дают возможность не только построить D по заданному обучающему отношению объектов и покрытию пространства объектов, но, как это было сделано для TV-мерных векторов и цепочек, само покрытие может быть определено в терминах гомоморфизмов на пространстве объектов. Тем самым гомоморфизмы играют существенную роль при построении решающих правил структурного распознавания образов. [35]
Следовательно, в В ( т) любые два г-шара либо не пересекаются, либо совпадают. В частности, при каждом натуральном / семейство всех l / i -шаров является покрытием пространства В ( т) попарно непересекающимися открыто-замк-нутыми множествами. [36]
Если объединение нескольких гиперплоскостей совпадает со всем пространством V, то мы назовем множество этих гиперплоскостей покрытием пространства V. [37]
Говорят, что пространство бикомпактно, если из всякого его покры-ния можно выбрать конечное множество элементов, также образующее покрытие пространства. [38]
Классические работы Лебега и Брауэра вскрывают комбинаторную сущность понятия размерности. И метрического пространства М называется число р - 1, где р - наибольшее из таких натуральных чисел т, что в каждом достаточно мелком покрытии пространства М замкнутыми множествами найдутся т множеств, имеющих непустое пересечение. При п2 это означает, что существует покрытие плоскости как угодно мелкими замкнутыми множествами, никакие четыре из которых не пересекаются ( рис. 12), но покрыть плоскость достаточно мелкими замкнутыми множествами, никакие три из которых не пересекались бы, невозможно. [39]
Детали многих современных машин и устройств работают в нестационарных температурных условиях. Знание того, какое влияние оказывает циклически изменяющаяся температура на свойства алюминиевых материалов, одинаково важно как в научном, так и прикладном плане, в частности в тех случаях, когда приходится выбирать материал конструкций для покрытия большепролетных пространств, а также крыш. [40]
Образы кромок образуют открытое в X покрытие подпространства В. Переходя к покрытию, ассоциированному с разбиением единицы, подчиненным покрытию У 1), получим покрытие пространства X открытыми множествами типа Fg. Итак, возникает семейство Va открытых подмножеств пространства X, являющееся локально конечным и таким, что каждое множество Ua - Va [ B есть Fa и обладает в X нормальной кромкой. [41]
W из G содержит область. Выбираем такую область F, чтобы замыкание ее V было компактно и содержалось в W. Трансляции вида хТаЪ xab, xSab xSaSb взаимно обратны и потому являются гомеоморфными отображениями G на себя. Обозначая образ VTt в Gx через Fif видим, что F; образуют счетное покрытие пространства Сх замкнутыми множествами. [42]
Смирнов а - непосредственно следует из доказанной А. Смирнова и теорема А. Смирнова, Успехи мат ем. В этой же работе Смирнов доказывает и следующую теорему, тесно связанную с предметом настоящей главы: для того чтобы локально метризуемое пространство R было метри-зуемо, необходимо и достаточно, чтобы метризуемые окрестности различных точек этого пространства могли быть выбраны так, чтобы образованное ими покрытие пространства R было локально конечным. [43]
Пусть X - финитное простраштю и А - его замкнутое подпространство. Фиксируем простое р и предположим, что Я1 ( A, A; Zp) 0 при in и Я ( A, A; ZP) ZP. Предположим также, что для любого собственного замкнутого подмножества С а. X гомоморфизм ограничения Я ( A, A; Z) - - - Нп ( С, Cf Л; ZP) тривиален. Пусть 21 - такое покрытие пространства X, что Я ( К (), К (: Л); 2Р) - Я ( А, A; Zp) есть эпиморфизм. [44]
Теорема Стоу - н а утверждает, что в любое открытое покрытие произвольного метрич. Хаусдорфовы пространства, обладающие последним свойством, наз. Требование локальной конечности играет существенную роль в конструкциях, принадлежащих теории размерности, в формулировках и доказательствах разного рода аддиционных теорем. Существование в регулярном пространстве базы, распадающейся в объединение счетного семейства локально конечных открытых покрытий, равносильно метризуемости этого пространства. С помощью разбиений единицы строятся, в частности, стандартные отображения многообразий в евклидовы пространства. Требование локальной конечности покрытия но обязательно соединять с предположением о его открытости. Локальная конечность покрытия пространства автоматически влечет, что в атом покрытии достаточно много множеств, близких по свойствам к открытым. Рассматриваются также локально коночные семейства множеств в пространстве, определяемые аналогично, но но обязанные покрывать пространство. Специальный их случай представляют д и с к р е т н ы е семейства множеств - такие семейства множеств, что у каждой точки всего пространства есть окрестность, пересекающая но более одного элемента этого семейства. Дискретные семейства важны в связи с изучением отделимости в пространстве. Так, выделяются коллективно нормальные пространства требованием: любое дискретное семейство множеств отделяется дискретным семейством окрестностей. С последним условием прямо связана задача комбинаторного продолжения локально коночных семейств множеств до локально конечных семейств открытых множеств. [45]