Cтраница 3
Каждой точке упругого тела соответствует свой тензор напряжений. Следовательно, в теле имеет место поле тензоров напряжений. [31]
Вообще, в каждой точке подмножества D многообразия Vn определяется поле тензоров, если условиться, что каждой точке множества Z соответствует тензор касательного центро-аффинного пространства. [32]
Неравновесные процессы принято подразделять на скалярные, векторные и тензорные, если потоки и силы являются соотв. В зависимости от этого для описания процессов нужно использовать скалярное, векторное поле или поле тензора 2-го ранга. [33]
При решении задач теории упругости часто обращаются к принципу Сен-Венана, Если при решении задачи граничные условия задаются точно согласно истинному распределению сил, то решение может оказаться весьма сложным. В силу принципа Сен-Венана можно, смягчив граничные условия, добиться такого решения, чтобы оно дало для большей части тела поле тензора напряжений, очень близкое к истинному. Определение тензора напряжений в месте приложения нагрузок составляет особые задачи теории упругости, называемые контактными задачами или задачами по исследованию местных напряжений. На рис. 12 показаны две статически эквивалентные системы сил: одна в виде сосредоточенной силы Р, перпендикулярной к плоской границе полубесконечной пластинки, а другая - в виде равномерно распределенных иа полуцилиндрической поверхности сил, равнодействующая которых равна силе Р и перпендикулярна к границе пластинки. [34]
Предположим, что Солнце излучает гравитационные волны. Как же будет происходить фактически регистрация этих волн. Детектор в форме алюминиевого цилиндра служит антенной, рассчитанной на прием сигнала, обусловленного полем тензора четвертого ранга. Антенны, предназначенные для приема тензора ( электромагнитного) второго ранга, хорошо известны. Некоторые из них обладают весьма острой направленностью. Наша гравитационная антенна, как мы видели ранее, также является направленной. Ее чувствительность максимальна в том случае, когда ось цилиндра перпендикулярна направлению распространения волн. Аппаратура расположена на поверхности Земли и, следовательно, вращается вместе с ней. Если излучение приходит от Солнца или из какой-либо другой области пространства, то должны были бы наблюдаться суточные вариации шумов на выходе усилителей, связанных с цилиндром. [35]
При решении задач теории упругости часто обращаются к принципу Сен-Венана. Если при решении задачи граничные условия задаются точно согласно истинному распределению сил, то решение может оказаться весьма сложным. В силу принципа Сен-Венана можно, смягчив граничные условия, добиться такого решения, чтобы оно дало для большей части тела поле тензора напряжений, очень близкое к истинному. Определение тензора напряжений в месте приложения нагрузок составляет особые задачи теории упругости, называемые контактными задачами или задачами по исследованию местных напряжений. На рис. 12 показаны две статически эквивалентные системы сил: одна в виде сосредоточенной силы Р, перпендикулярной к плоской границе полубесконечной пластинки, а другая - в виде равномерно распределенных на полуцилиндриче-ской поверхности сил, равнодействующая которых равна силе Р и перпендикулярна к границе пластинки. [36]
Для описания движения сплошной среды, моделирующей твердое деформируемое тело в процессе его обработки давлением, применяются скалярные, векторные и тензорные поля. Например, распределение температур в объеме деформируемого тела описывается скалярным полем. Распределение скоростей точек деформируемого тела описывается векторным полем. Напряженное состояние деформируемого тела описывается полем тензора второго ранга. С теорией скалярного и векторного полей в прямоугольных декартовых и некоторых ортогональных криволинейных ( например, цилиндрических) координатах читатель знаком из курса математики. Вектор является тензором первого ранга, и нам предстоит сделать некоторые обобщения на случай тензорных полей более высокого, в первую очередь второго ранга, чтобы иметь возможность описать напряженное и деформированное состояния тела. [37]
Левая часть (12.2) целиком определяется геометрией пространства-времени; правая часть содержит постоянную А, и тензор энергии-импульса Га, определяемый распределением и движением материи. Таким образом, (12.2) означает, что материя определяет геометрию пространства-времени и, наоборот, движение этих масс определяется метрическим тензором пространства, которое не будет плоским. Условие (12.3) записывает физическое утверждение, согласно которому в бесконечно малой области пространства в течение бесконечно малого промежутка времени можно для описания физического события использовать геометрию Минковского. Важно, однако, отметить, что искривление пространства-времени, определяемое полем тензора кривизны ROLoy ( x1t x2, jc3, jc4), нельзя убрать даже в точке никаким преобразованием координат. [38]
В связи с этим линейное приближение для определения этих сил оказывается недостаточным. Вычисленная в таком приближении сила является периодической функцией времени и в среднем по времени равна нулю. Средняя сила появляется как результат эффектов второго порядка и сама является величиной второго порядка. А это значит, что при вычислении напряжений в жидкости необходимо использовать нелинейные соотношения, сохраняя квадратичные по параметрам волнового поля слагаемые. В этом случае для решения задачи можно использовать метод, предложенный в [6, 7] для бесконечной жидкости. В соответствии с этим методом поле тензора напряжений в жидкости представляется через потенциалы первичной и вторичной волн с точностью до величин, имеющих порядок числа Маха. [39]