Cтраница 2
Группа единиц, то есть обратимых элементов, кольца целых элементов Ок поля алгебраических чисел К. [16]
Из теоремы Алберта - Хассе - Брауэра - Нетер вытекает, что группу Брауэра поля алгебраических чисел можно вложить в произведение счетного числа экземпляров группы Q / Z. Основная теорема этого параграфа дает точное описание этого вложения. [17]
Как известно, если башня полей классов поля k бесконечна, то поле k нельзя вложить в одноклассное поле алгебраических чисел. Действительно, если бы К D k было одноклассным конечным расширением, то поле К К / К было бы абелевым неразветвленным расширением поля К, а так как К одноклассное, то К К, согласно теории полей классов, должно было бы совпадать с К. Аналогично и все К С К, а это означало бы, что башня полей классов поля k конечна. [18]
Если для поля k выполнено условие ( 15), то k не содержится ни в каком одноклассном поле алгебраических чисел. [19]
Приведем пример применения утверждения ( ii): теория Т вещественно замкнутых упорядоченных полей модельно полна, а поле действительных алгебраических чисел изоморфно вкладывается в любую модель теории Т, поэтому Т полна. [20]
В § 141 мы видели, что существует тесная связь между теорией нормирований и классической теорией идеалов в полях алгебраических чисел. [21]
В теории алгебраических чисел есть фундаментальная теорема Дирихле о единицах; она описывает все обратимые элементы в кольце целых для любого конечномерного поля алгебраических чисел. Она доказывается с помощью рассмотрения некоторой другой решетки. [22]
Таким образом, доказательство сводится к случаю, когда группа Г конечно порождена и имеет представление матрицами с элементами в некотором поле алгебраических чисел - эти свойства выполнены и для арифметических групп. [23]
Вопросы, связанные с критическими простыми дивизорами полей алгебраических чисел, могут быть поставлены и для алгебраических многообразий, определенных над полями алгебраических чисел и приводят нас к интересным задачам и некоторым результатам. [24]
В нем указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над полями алгебраических чисел. Объекты, изучаемые в обеих теориях, обладают локальными инвариантами, связанными с пополнениями поля определения, и основной интерес представляют именно локально тривиальные объекты. В случае эллиптических кривых это приводит к двум конкретным гипотезам: 1) над заданным полем р-адических чисел имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых с заданным абсолютным инвариантом и 2) если над полем алгебраических чисел k задана кубическая кривая С, то над k имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых, которые над всеми р-адическими пополнениями поля k изоморфны С. [25]
Егор Иванович Золотарев ( 1847 - 1878), профессор Петербургского университета и адъюнкт Академии наук, одновременно с Дедекиндом разработал теорию делимости в полях алгебраических чисел. В отличие от Дедекинда, положившего в основу своей теории понятие идеала, Е. И. Золотарев строил теорию делимости фактически на понятии нормирования. [26]
Мы выясним теперь, в чем заключаются условия разрешимости той задачи погружения, которая была сформулирована в предшествующем параграфе в случае, когда k - поле алгебраических чисел. [27]
Так как всякая разрешимая группа 0 является фактор-группой группы G, получающейся цепочкой распадающихся расширений с нильпотентными ядрами [7], то из теоремы 1 вытекает существование поля алгебраических чисел с произвольной разрешимой группой Галуа. Этот факт был раньше доказан автором [8] на основании решения некоторой более искусственной задачи погружения. [28]
Используемые конструкции включают два общих варианта конструкции А ( см. § 3 и 4), вариант конструкции С, всегда приводящий к решеткам ( конструкция D, см. § 8), и мощное обобщение большей части предыдущих конструкций ( конструкция Е, см. § 9 и 10), которое может применяться рекурсивно. Параграф 7 содержит ряд конструкций, использующих идеалы в полях алгебраических чисел. [29]
Эта глава посвящена одному из наиболее глубоких и красивых результатов современной алгебры. Речь идет о классификации и описании центральных простых алгебр над полями алгебраических чисел. Построение этой теории связано с именами таких крупнейших математиков, как Хассе, Брауэр, Нетер и Алберт. Оно стало возможным благодаря развитию аппарата теории чисел в работах Кронекера, Вебера, Гильберта, Минковского, Фуртвенглера, Артина, Такаги, Хассе, Витта и многих других. Мы не имеем возможности поместить в книге весь материал, необходимый для доказательства основных теорем. [30]