Cтраница 3
Удивительно, что столь естественный вопрос комбинаторной теории групп, рассматриваемый изолированно вне всякой связи с полями алгебраических чисел, не был решен раньше, хотя со времен И. [31]
В ряде частных случаев ( например, если все слои гипер-эллип-тические) можно показать, что этот вопрос имеет положительный ответ. Доказательство в общем случае должно быть, по-видимому, значительно труднее доказательства аналогичного факта для кривых над полями алгебраических чисел, аналогично тому, как конечность числа расширений с заданными точками ветвления поля алгебраических функций доказывается гораздо сложнее [18], 4eivi теорема Эрмита в теории алгебраических чисел. В связи с этим было бы интересно исследовать этот вопрос в случае ko - С, пользуясь топологическими методами. [32]
В этом параграфе мы описываем некоторые основные пути, на которых решетки могут быть получены из идеалов-в полях алгебраических чисел. [33]
Предположим, что схема X - целая, плоская и собственная над т, что К является ее полем рациональных функций и что схема X g k ( являющаяся алгебраическим многообразием над k) не особая. Келером [15] понятий дифференты ( которая в этих терминах является замкнутой подсхемой схемы X), так же, как определение дискриминанта поля алгебраических чисел основывается на определении его дифференты. [34]
Мы видим, что действие элемента о Aut С на этальиом гомотопическом типе многообразия С - 0 зависит лишь от действия элемента а на корнях из единицы. В общем случае это неверно1) но все же оказывается, что для произвольного Q-многообразия V действие элемента а е Aut С на этальном гомотопическом типе V зависит лишь от действия а на алгебраических числах. Делэ в том, что поле Q алгебраических чисел и полз С комплексных чисел оба являются алгебраически замкнутыми полями, содержащими Q, и с точки зрения этальных гомотопий при переходе от поля Q к полю С ничего не меняется. [35]
Спрашивается, когда поле k1 можно выбрать так, что для задачи ( А 1 /, G, pi) первое препятствие исчезает. Инварианты, которые дают ответ на этот вопрос, мы называем вторым препятствием для задачи погружения. В настоящей работе второе препятствие находится для случая, когда k - поле алгебраических чисел. [36]
Его первое обращение носит неявный характер: он как очевидный факт принимает ( с. Однако по современным представлениям доказательства этого факта в прошлом столетии не корректны. Сейчас считаются корректными доказательства основной теоремы алгебры, опирающиеся на один из эквивалентов аксиомы выбора, например на предположение о вполне упорядоченности поля алгебраических чисел. [37]
В завершающих разделах обзора приведены гипотезы и аналогии, указывающие на роль в теоретико-числовом мышлении некоторых общих принципов, которые иногда предопределяют развитие теории на десятилетия вперед. Поэтому мы выбрали в качестве иллюстраций современную судьбу классических аналогий между числами и функциями, а также краткое описание программы Ленглендса, которая имеет целью проникновение в структуру группы Галуа поля алгебраических чисел и завязывает в сложный узел гипотетические свойства представлений этой группы, дзета-функции и модулярные ( ав-томорфные) формы. [38]
Развитая Эмми Нетер абстрактная теория слила воедино многие важные достижения математики. Кроме того, Эмми Нетер показала, что один и тот же аксиоматический подход позволяет осуществить спуск, с одной стороны, к полиномиальным идеалам, а с другой, к классическому случаю - идеалам в полях алгебраических чисел. В отдельных случаях общая теория Эмми Нетер вышла даже за пределы всего, что было известно из результатов, полученных Ласкером для полиномиальных идеалов. [39]
К наиболее важным работам Эмми Нетер этого периода относятся: Гиперкомплексные величины и теория представлений ( 1929 г.), Некоммутативная алгебра ( 1933 г.) и три статьи меньшего объема о норменных вычетах и теореме о главных родах. Ее теория скрещенных произведений была опубликована Хассе в связи с его исследованиями по теории циклических алгебр. Совместная работа Брауэра, Хассе и Эмми Нетер, содержавшая доказательство того, что каждая простая алгебра над обычным полем алгебраических чисел циклична в смысле Диксона, останется заметной вехой в истории алгебры. [40]
Далее, Т имеет в точности счетное множество счетных моделей, по одной для каждого ранга, не превосходящего со. Следовательно, Т имеет и счетно-насыщенную модель, и атомную модель. Поскольку модель ранга со не вкладывается ни в какую модель конечного ранга, все модели конечного ранга не являются счетно-универсальными. Но счетно-насыщенная модель счетно-универсальна, так что ею служит модель ранга со. Модель ранга нуль - поле алгебраических чисел - является простой моделью теории Т, а потому и атомной. [41]
Вводя р-адические числа, можно сделать систему рациональных чисел полной в р-адическом смысле, так же, как введение действительных чисел делает ее полной в оо - ади-ческом смысле. Рациональные числа вложены в континуум всех действительных чисел, но они с таким же успехом могут быть вложены в континуум всех р-адических чисел. Каждое из этих вложений, соответствующее конечной или бесконечной простой точке р, равно интересно с арифметической точки зрения. Сейчас более, чем когда-либо, очевидно, как ошибочно было отождествлять поле алгебраических чисел с одной из его гомоморфных проекций в поле Q. Это - золотое правило, вынесенное из ранних и ставшее плодотворным для позднейших арифметических исследований; и здесь находится один из мостов ( другие будут указаны дальше), соединяющих две наиболее захватывающие ветви современной математики: абстрактную алгебру и топологию. [42]
Идеалы предложил Дедекинд, который намеревался, вводя идеальные элементы, восстановить основной закон единственности разложения числа на простые множители, нарушавшийся в алгебраических числовых полях. Аналогичным образом наибольший общий делитель двух чисел а и Ъ можно интерпретировать как множество всех чисел вида ах by, где х и у независимо принимают значения из множества всех целых чисел. Но в случае алгебраических числовых полей аналогичное утверждение перестает быть верным, и поэтому возникает необходимость рассматривать в качестве делителей не только числа, но и идеалы. По определению подмножество кольца R называется идеалом, если сумма и разность любых чисел из подмножества принадлежат ему же, равно как и произведение любого числа из подмножества и любого числа из кольца. С другой стороны, понятие идеала возникло в алгебраической геометрии. Алгебраическая поверхность в пространстве определяется одним алгебраическим уравнением / 0, где / - многочлен от координат. Все многочлены такого типа образуют идеал в кольце многочленов; алгебраическое многообразие состоит из точек, в которых все многочлены идеала обращаются в нуль. Именно для таких идеалов справедлива теорема Гильберта о базисе - один из основных инструментов Гильберта в изучении инвариантов. Эта теорема утверждает, что любой идеал кольца многочленов имеет конечный базис. Теорема Не-тера о вычетах содержит критерий, позволяющий нам решать, принадлежит ли тот или иной многочлен идеалу, элементы которого имеют общими лишь конечное число нулей. Для полиномиальных идеалов Ласкер, бол ее известный нематематикам как неоднократный чемпион мира по шахматам, получил результаты, показьюающие, что свойства таких идеалов значительно отличаются от того, что обнаружил Дедекинд в полях алгебраических чисел. [43]