Cтраница 3
Кольцо целых чисел является подкольцом поля комплексных чисел, но не будет подалгеброй алгебры комплексных чисел над полем действительных чисел. [31]
Из вышеизложенного вытекает, что в поле комплексных чисел неприводимыми многочленами являются только многочлены первой степени; в поле действительных чисел неприводимыми многочленами, кроме того, могут быть и многочлены второй степени. [32]
Не все интересные поля являются подполями поля комплексных чисел. Например, представляет интерес исследовать алгебраические расширения поля С ( Х), где X - переменная над С. Изучение этих расширений равносильно изучению разветвленных накрытий сферы ( рассматриваемой как риманова поверхность), и фактически имеется точная информация о природе таких расширений, поскольку известна фундаментальная группа сферы, из которой выколото конечное число точек. Мы вернемся к этому примеру позднее, когда будем рассматривать группы Галуа. [33]
R [ M порождает гомоморфное отображение в поле комплексных чисел. [34]
В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия больше и меньше не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа. [35]
Соображения § 5 легко можно распространить на поле комплексных чисел. [36]
Применим это понятие к вопросу о построении поля комплексных чисел. Изложенная в § 17 конструкция поля комплексных чисел, основанная на использовании точек плоскости, не является единственно возможной. Вместо точек можно было бы взять отрезки ( векторы) на плоскости, выходящие из начала координат, и, задавая эти векторы их компонентами а, Ь на осях координат, определить сложение и умножение векторов при помощи тех же самых формул ( 2) и ( 3) из § 17, как и в случае точек плоскости. Можно было бы, далее, зооб: це отказаться от привлечения геометрического материала; замечая, что и точки плоскости, и векторы па плоскости задаются упорядоченными парами действительных чисел ( а, Ь), можно просто взять совокупность всех таких пар и в ней ввести сложение и умножение по формулам ( 2) и ( 3) из указанного параграфа. [37]
Позже в этой книге будет доказано, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля С. Имеется и еще много автоморфизмов, но уже не непрерывных. Мы рассмотрим другие возможные автоморфизмы в главе о трансцендентных расширениях. Подполе поля С, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, есть алгебраическое замыкание Q поля Q. [38]
В одной из предыдущих глав курса было построено поле комплексных чисел. [39]
Если поле К алгебраически замкнуто ( например, поле комплексных чисел), то случай 3 ( поле) невозможен. [40]
Позже в этой книге будет доказано, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Комплексное сопряжение является автоморфизмом поля С. Имеется и еще много автоморфизмов, но уже не непрерывных. Мы рассмотрим другие возможные автоморфизмы в главе о трансцендентных расширениях. Подполе поля С, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, есть алгебраическое замыкание Q поля Q. [41]
Пользуясь задачей 1752, найти все изоморфные отображения поля комплексных чисел в себя, переводящие действительные числа снова в действительные. [42]
Пользуясь задачей 1752, найти все изоморфные отображения поля комплексных чисел в себя, переводящие действительные числа снова в действительные. [43]
Отображение с - с является взаимно однозначным отображением поля комплексных чисел на себя. Свойства 2 и 3 означают, что это отображение есть изоморфизм поля комплексных чисел на себя, или, как говорят, автоморфизм этого поля. [44]
Всякий многочлен л-й степени с рациональными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел п корней, некоторые из которых ( или даже асе) могут лежать вне поля рациональных чисел. Однако не всякое комплексное или действительное число служит корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Те комплексные ( в частности, действительные) числа, которые являются корнями таких многочленов, называются алгебраическими числами в противоположность числам трансцендентным. [45]