Cтраница 2
Мы уже знаем, что если последовательность безгранично делимых законов распределения сходится к предельному закону распределения, то этот предельный закон сам является безгранично делимым. [16]
Предположим сначала, что Ф ( х) - безгранично делимый закон и р ( t) - его характеристическая функция. [17]
Чисто аналитический факт, лежащий в основе так называемого канонического представления безгранично делимых законов и условий сходимости последовательностей безгранично делимых законов, состоит в следующем. Рассмотрим пространство Y, точками которого являются непрерывные на всей прямой функции и топология в котором порождается равномерной в каждом конечном интервале сходимостью. [18]
Таким образом, семейство всех предельных законов в случае ограниченных дисперсий совпадает с подсемейством безгранично делимых законов с конечными вторыми моментами. [19]
Леви сначала показал, что это верно в некотором смысле, а затем уже получил общую форму безгранично делимых законов. Ито провел этот анализ строго. [20]
Чисто аналитический факт, лежащий в основе так называемого канонического представления безгранично делимых законов и условий сходимости последовательностей безгранично делимых законов, состоит в следующем. Рассмотрим пространство Y, точками которого являются непрерывные на всей прямой функции и топология в котором порождается равномерной в каждом конечном интервале сходимостью. [21]
Из предыдущей теоремы мы знаем, что предельный закон для функций распределения сумм ( 1) является предельным для безгранично делимых законов и, значит, по теореме 3 является безгранично делимым; его дисперсия конечна, гак как дисперсии сумм по второму условию элементарности системы ограничены в совокупности. Обратное предложение, что каждый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для сумм, немедленно вытекает из определения безгранично делимых законов. [22]
Доказанная теорема позволяет заменять исследование - сумм ( 1) случайных величин с функциями распределения, вообще говоря, произвольными исследованием безгранично делимых законов. Последнее, как мы увидим, во многих случаях оказывается весьма простым. [23]
Всякий закон распределения, предельный для функций распределения сумм элементарной системы, является безгранично делимым с конечной дисперсией и, обратно, каждый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для функций распределения сумм некоторой элементарной системы. [24]
В 1933 г. А.Н. Колмогоров высказал гипотезу, что если суммируются примерно равноправные независимые случайные величины, то при увеличении числа слагаемых из распределения будут приближаться к безгранично делимым законам и, следовательно, если распределения последовательных сумм будут сходиться к предельному то этот предельный закон обязательно должен быть безгранично делимым. [25]
Хп) в сравнении с некоторыми соответственно подобранными законами % ( Yn), Действительно, уже в случае независимых слагаемых изучение центральной предельной проблемы основывалось на сравнении законов сумм с соответственным образом подобранными безгранично делимыми законами. [26]
В конце двадцатых - начале тридцатых годов появились работы Бруно де Финетти, посвященные ( в современной интерпретации) изучению вероятностных свойств случайных процессов X ( Xt tQ с однородными независимыми приращениями, что в свою очередь связано с изучением структуры распределений так называемых безгранично делимых законов. [27]
Позднее мы покажем, что фактически после устранения разрывов1) оставшаяся часть любого процесса с независимыми приращениями безгранично делима. Леви нашел общую форму безгранично делимых законов с хар. [28]
Из предыдущей теоремы мы знаем, что предельный закон для функций распределения сумм ( 1) является предельным для безгранично делимых законов и, значит, по теореме 3 является безгранично делимым; его дисперсия конечна, гак как дисперсии сумм по второму условию элементарности системы ограничены в совокупности. Обратное предложение, что каждый безгранично делимый закон с конечной дисперсией является предельным для сумм, немедленно вытекает из определения безгранично делимых законов. [29]
Момент порядка 2k ( k - целое положительное число) функции безгранично делимого распределения F существует тогда и только тогда, когда существует момент того же порядка функции О. Известно, что ограниченная случайная величина не может иметь безгранично делимый закон распределения. [30]