Cтраница 1
Упорядоченное поле опускает множество 2 ( х) тогда и только тогда, когда это поле является архимедовым. Примеры неархимедовых упорядоченных полей были построены в предыдущем разделе с помощью теоремы компактности. [1]
Упорядоченное поле называется вещественно замкнутым, если любой многочлен, имеющий на концах отрезка разные знаки, имеет корень на этом отрезке. Отметим в скобках, что существует несколько эквивалентных определений вещественно замкнутого поля, см. учебник ван дер Вардена [4]; мы выбрали наиболее удобное для наших целей. [2]
Упорядоченное поле, удовлетворяющее свойству V, называется непрерывным упорядоченным полем. Поле рациональных чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем имеются сечения, которые не определяются никаким рациональным числом. Например, можно показать, что если к верхнему классу В отнести все положительные рациональные числа т / п, удовлетворяющие неравенству ( т / п) 2 2, а к нижнему классу все остальные рациональные числа, то получится сечение рациональных чисел А В, которое не определяется никаким рациональным числом. [3]
Всякое конструктивное упорядоченное поле имеет конструктивное вложение в сильно конструктивное вещественно замкнутое поле. [4]
Структура вполне упорядоченного поля на Ру однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента о, Ь из Ру прн-над. Это отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или 2, которые содержат как а, так и Ь, потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. Этот элемент одновременно является и первым элементом в ЭЛ. [5]
У всякого упорядоченного поля К существует вещественное замыкание R, индуцирующее заданное упорядочение на К. [6]
Пусть К - упорядоченное поле, F - его подполе, с - кольцо нормирования, определенное упорядочением расширения K / F, и m - его максимальный идеал. [7]
Если [ - упорядоченное поле, то существует одно и, с точностью до эквивалентности расширений, только одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение Р поля К, упорядочение которого является продолжением упорядочения поля К, Поле Р не имеет нетождественных автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент из К. [8]
Пусть К - упорядоченное поле, Г - его подполе, с - кольцо нормирования, определенное упорядочением расширения / С / / 7, и m - его максимальный идеал. [9]
Множество R - упорядоченное поле, это означает, что между элементами множества R определены соотношения. [10]
Пусть К - упорядоченное поле К - поле, которое получается из К присоединением квадратных корней из всех положительных элементов поля К. Тогда поле К формально вещественно. [11]
Если К - упорядоченное поле, то существует одно и, с точностью до эквивалентности расширений, только одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение Р поля К, упорядочение которого является продолжением упорядочения поля К, Поле Р не имеет нетождественных автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент из К. [12]
Докажите, что никакое упорядоченное поле не является счетно-насыщенным. [13]
Если в некотором упорядоченном поле К каждый положительный элемент обладает квадратным корнем и каждый многочлен нечетной степени обладает по крайней мере одним корнем, то в результате присоединения элемента i получается алгебраически замкнутое поле. [14]
Докажите, что всякое упорядоченное поле эквивалентно некоторому неархимедову упорядоченному полю. [15]