Cтраница 2
Множеством действительных чисел называется непрерывное упорядоченное поле. [16]
Следовательно: характеристика, упорядоченного поля равна нулю. [17]
Теория, состоящая из аксиом упорядоченного поля ( в том числе аксиом равенства) и этих дополнительных аксиом, называется теорией вещественно замкнутых полей. Покажем, что в любом вещественно замкнутом поле выполнены основные факты о многочленах и их производных. Прежде всего заметим, что в алгебре естественно определять производную многочлена не как предел, а чисто формально: ( ж) па; 1 ( для любого положительного целого п), далее по линейности. Степень производной многочлена на единицу меньше степени самого многочлена. [18]
Проведенная выше конструкция сопоставляет каждому упорядоченному полю К такое его расширение Q, в котором выполнена теорема Коши о сходимости. [19]
В силу теоремы 1 поле R есть максимальное упорядоченное поле ( Алг. VI, § 2, п 5); поэтому единственным ( с точностью до изоморфизма) некоммутативным телом конечного ранга над R является тело кватернионов над R ( Алг. [20]
К настоящему моменту мы узнали, что полное упорядоченное поле R действительных чисел имеет собственное ( но не единственное) расширение - упорядоченное поле R гипердействительных чисел. Это расширение элементарно, что означает, что юно преобразует истинные в R утверждения, выразимые на языке Z ( R), в истинные утверждения. [21]
Второй метод направлен на аксиомы поля ( или упорядоченного поля), которые можно сформулировать, как только школьники узнают четыре арифметических действия. Это упрощает изложение для учителя, но не для школьника, получающего готовую систему понятий, правит, законов, формул. Школьник не производит самостоятельно упорядочения алгебры в целом; может случиться, что он так и не узнает, как вывести один закон из другого или как свести многие законы к нескольким. Иными словами, упорядочение некоторой области математики излагают так, как это проходит в университетах. Существуют веские причины для того, чтобы на этом ( университетском) уровне начинать изложение алгебры с теории полей. Однако, чтобы получить школьную алгебру, недостаточно просто разбавить университетскую. [22]
Указанная в § 78 конструкция расширения Q для наперед заданного упорядоченного поля К использует не упорядоченность на К, а лишь существование абсолютной величины ( модуля) а произвольного элемента поля а. Поэтому естественно попытаться распространить эту конструкцию на поля, не наделенные упорядочением, для которых, однако, существует функция ф ( а) со свойствами абсолютной величины. [23]
Докажите, что ЭД элементарно эквивалентно некоторому архимедову упорядоченному полю. [24]
Упорядоченное поле, удовлетворяющее свойству V, называется непрерывным упорядоченным полем. Поле рациональных чисел уже не является непрерывным упорядоченным полем: в нем имеются сечения, которые не определяются никаким рациональным числом. Например, можно показать, что если к верхнему классу В отнести все положительные рациональные числа т / п, удовлетворяющие неравенству ( т / п) 2 2, а к нижнему классу все остальные рациональные числа, то получится сечение рациональных чисел А В, которое не определяется никаким рациональным числом. [25]
В пункте ( v) утверждается, что каждое упорядоченное поле имеет не более одного вещественного замыкания. В общем случае неверно, что каждое поле имеет не более одного вещественного замыкания. [26]
Точно так же конечное поле есть поле, однако упорядоченное поле является не полем, а парой, состоящей из поля и отношения порядка на множестве, состоящем из всех элементов этого поля. Архимедовски упорядоченное поле, напротив, снова является упорядоченным полем. [27]
Этот же факт можно выразить, сказав, что упорядоченное поле всех рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю всех рациональных сечений; это позволяет нам отождествить рациональное сечение г с рациональным числом г. Разумеется, г - это не то же самое, что г, но свойства, с которыми мы имеем дело ( арифметика и порядок), одинаковы в этих двух полях. [28]
Совокупность элементов, удовлетворяющих всем перечисленным свойствам, образует линейно упорядоченное поле. [29]
Докажите, что всякое упорядоченное поле эквивалентно некоторому неархимедову упорядоченному полю. [30]