Cтраница 3
СЛЕДСТВИЕ 2.1.11. Существуют неархимедовы упорядоченные поля, элементарно эквивалентные упорядоченному полю действительных чисел. [31]
На основе этих определений легко доказать, что R - упорядоченное поле, являющееся расширением R. При этом для бесконечно больших и бесконечно малых чисел получается вполне честная алгебра. [32]
Раздел Обзор упорядочения алгебры содержит рассуждения о необходимости дополнения аксиоматики упорядоченного поля приведенной выше аксиомой логарифмической линейки. Автор отмечает, что обычные аксиомы упорядоченного поля не характеризуют однозначно поля действительных чисел. Для этого достаточна была бы топологическая аксиома, например, существование точной верхней границы ограниченного множества, или осуществимость дедекиндовых сечений, или сходимость фундаментальных последовательностей; взамен одной из них автор и предлагает свою аксиому, носящую подчеркнуто алгебраический характер. Однако, говорит он, эта аксиома все еще недостаточна для упорядочения ( в дальнейшем) анализа. [33]
Оказывается, что множество действительных чисел является в некотором смысле единственным непрерывным упорядоченным полем, точнее единственным с точностью до изоморфизма. [34]
Мы используем следующие свойства поля вещественных чисел R: это - упорядоченное поле; всякий положительный элемент является квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из R [ X ] имеет корень в R. Позднее мы рассмотрим упорядоченные поля в общем случае и наши рассуждения окажутся применимыми к любому упорядоченному полю, обладающему перечисленными выше свойствами. [35]
Из этого принципа вытекает следующее условие совместности систем вида ( 6) над произвольным упорядоченным полем. [36]
Отметим, что из этой леммы вытекает, что элемент, алгебраический над некоторым упорядоченным полем, не может быть бесконечно большим относительно этого поля. [37]
Канонический образ в А 1 - множества всех достоянных функций изоморфен R с его структурой упорядоченного поля. [38]
Этот же факт можно выразить, сказав, что упорядоченное поле всех рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю всех рациональных сечений; это позволяет нам отождествить рациональное сечение г с рациональным числом г. Разумеется, г - это не то же самое, что г, но свойства, с которыми мы имеем дело ( арифметика и порядок), одинаковы в этих двух полях. [39]
Действительно, на Эйлер, ни Коши никогда не характеризовали системы действительных чисел формально ( как единственное полное упорядоченное поле); не знали они и того, что она несчетна. [40]
В частности, для каждого х 6 fix, А / ( х) канонически наделяется структурой упорядоченного поля. Максимальный идеал 3 ( х) называют вещественным, если А / 3 ( х) изоморфно R, w гипервещественным - в противном случае. [41]
К настоящему моменту мы узнали, что полное упорядоченное поле R действительных чисел имеет собственное ( но не единственное) расширение - упорядоченное поле R гипердействительных чисел. Это расширение элементарно, что означает, что юно преобразует истинные в R утверждения, выразимые на языке Z ( R), в истинные утверждения. [42]
Точно так же конечное поле есть поле, однако упорядоченное поле является не полем, а парой, состоящей из поля и отношения порядка на множестве, состоящем из всех элементов этого поля. Архимедовски упорядоченное поле, напротив, снова является упорядоченным полем. [43]
В частности, поле рациональных чисел ( EJ может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо Z целых чисел допускает, очевидно, только один - естественный - порядок. Каждое упорядоченное поле содержит поле Q и сохраняет на последнем его естественный порядок. [44]
Например, поле рациональных чисел архимедово. Если упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют бесконечно большие элементы, превосходящие каждое рациональное число, и бесконечно малые, которые превосходят нуль, но меньше любого рационального числа. [45]