Cтраница 3
В работе [13] проанализированы различные экспериментальные результаты и показано, что влияние числа Прандтля можно достаточно точно описать с помощью асимптотических законов для PrWO и Рг-оо. [31]
В работе [13] проанализированы различные экспериментальные результаты и показано, что влияние числа Прандтля можно достаточно точно описать с помощью асимптотических законов для Рг - - 0 и Рг - оо. [32]
Первоначальное доказательство Винера было основано на одной тауберовой теореме для рядов Ламберта, из которой, как это было хорошо известно, асимптотический закон распределения простых чисел вытекает сравнительно просто. Эта теорема и ее связь с теорией чисел были впервые исследованы Харди и Литтль-вудом ( Hardy and Litllewood, 3), однако они не имели в виду доказательства асимптотического закона, ибо опирались явно на теорему, несколько более глубокую, чем сам этот закон. [33]
В качестве первого применения покажем, как явная формула для fy ( x) ( теорема 28) может быть использована для доказательства асимптотического закона распределения простых чисел. [34]
В теории вероятностей И. Г. Петровскому принадлежит мощный метод доказательства предельных теорем, который, в частности, лег в основу известной монографии А.Я. Хинчина об асимптотических законах теории вероятностей. [35]
Точная теория функции М ( х) чрезвычайно сложна, и оценки, которые удается получить, далеко не так близки к точным, как в случае асимптотического закона распределения простых чисел. [36]
В начале процесса намагничивания величина намагниченности растет пропорционально напряженности внешнего магнитного поля, однако с увеличением поля намагниченность асимптотически стремится к некоторому предельному значению, так что и для аморфных ферромагнетиков выполняется асимптотический закон приближения к насыщению. Величина спонтанной намагниченности уменьшается с ростом температуры и в точке Кюри ( Тс) становится равной нулю. [37]
Впрочем, надо подчеркнуть, что приближения Гаусса и Лежандра для п ( х) были получены чисто эмпирически и что даже Риман, который пришел к своей функции R ( х) с помощью теоретических рассуждений, не доказал асимптотического закона распределения простых чисел. Это было сделано ( на основе исследований Римана) лишь в 1896 г. Ада-маром и ( независимо) Балле Пуссеном. [38]
Выше уже было сказано, что закономерности изменения давления при пуске скважины с постоянным дебитом и при остановке ее после работы на установившемся режиме резко различны между собой, коль скоро рассматривается фильтрация с предельным градиентом; особенно велико разлт чге между ними в отношении асимптотического закона изменения давления. Картина меняется, если допустить возможность движения при градиентах давления, меньших предельного, хотя бы и с малыми эффективными проппцаемостямп. Характерно, что если даже движение при малых скоростях происходит с весьма малыми эффективными пронпцаемостями ( - 0.1 от проницаемости при больших скоростях), кривые восстановления и стабилизации давления оказываются весьма близкими. Это служит косвенным оправданием применения полученных выше соотношений для анализа кривых восстановления давления. [39]
Однако различие между выражениями ( 4) и ( 5) и значение константы В в ( 4) становятся существенными, как только мы хотим более точно оценить порядок ошибки к ( х) - / () Утверждение ( 6), известное под наименованием асимптотического закона распределения простых чисел, занимает центральное место во всей теории распределения простых чисел. [40]
Асимптотический закон распределения простых чисел был доказан в 1896 г почти одновременно и независимо друг от друга самим Адама-ром и де-ла - Валле-Пуссеном. Из этих двух доказательств первое ( принадлежащее Адамару) проще, однако де-ла - Валле-Пуссен ( в другой работе, опубликованной в 1899 г.) со всей подробностью исследовал вопрос о точности приближения. [41]
Доказательство асимптотического закона распределения про стых чисел получается теперь путем простого соединения результатов предыдущих теорем. [42]
Очевидно, что в этих частных случаях, а следовательно, и в общем случае закон затухания зависит существенным образом от свойств начальных возмущений. Поэтому для получения асимптотических законов затухания с помощью рассмотренных решений необходимо еще воспользоваться либо дополнительными гипотезами механического характера, либо опытными данными. [43]
Этот закон был ранее подмечен эмпирически. Из теоремы Адамара - Валле-Пуссена асимптотический закон получается без труда с помощью методов теории функций комплексного переменного. Однако полученное таким образом доказательство асимптотического закона отнюдь не является элементарным. С ( s) и вообще на теорию функций комплексного переменного) доказательство асимптотиче ского закона было получено недавно Зельборгом и Эрдешем. Так как асимптотический закон эквивалентен теореме Адамара - Валле-Пуссена, то метод Зельберга - Эрдеша дает новое ее доказательство. Однако метод Зельберга - Эрдеша приводит к не столь хорошим оценкам, как метод Адамара - Валле-Пуссена, так что последний представляет для нас больший интерес. [44]
Решениям проблемы, о которых мы говорили выше, можно было бы поставить в упрек то, что они опираются на идеи, чрезвычайно далекие от первоначальной постановки вопроса. Представлялось бы естественным искать доказательство асимптотического закона распределения простых чисел, не зависящее от теории функций комплексного переменного. Однако до настоящего времени такого доказательства найдено не было. Мы можем пойти даже дальше и усомниться в том, чтобы такое доказательство вообще могло быть найдено, по крайней мере поскольку теория основывается на тождестве Эйлера. Действительно, все известные доныне доказательства асимптотического закона распределения простых чисел основываются на некоторых свойствах комплексных нулей функции С ( s), и, обратно, эти свойства являются простыми следствиями самого асимптотического закона. [45]