Полином - джонс
Cтраница 2
Нами выдвигалась гипотеза, что из структуры многообразий подскоков при п 2 можно извлечь полиномы Джонса и ХОМФЛИ, но Ле Ты Куок Тханг, исследовав эти многообразия для дополнений к узлам с двумя мостами, показал, что структура этих многообразий значительно сложнее. В настоящее время проблема нахождения классического алгебро-топологического изложения полинома Джонса остается открытой. [16]
Хотя проблема Тейта никогда не рассматривалась как центральная проблема теории узлов, она не поддавалась методам современной топологии, что показывает важность полинома Джонса. [17]
Если смотреть на отмеченную связь в противоположном направлении ( от ФИЗИКЕ к теории узлов), следует отметить, что одна из классических двумерных моделей статистической физики может фактически быть использована ( так, как мы использовали модель Кауфмана в § 3) для определения полинома Джонса. [18]
Можно доказать, что эти два узла не изотопны. Поэтому полином Джонса не всегда различает и узлы. Это побуждает к поискам более сильных инвариантов. Один из таких инвариантов будет построен в следующем параграфе. [19]
Полином Джонса - это далеко не единственный полиномиальный инвариант зацеплений. За полвека до полинома Джонса был открыт полином Александера. Ниже мы перечислим наиболее известные полиномиальные инварианты. Все они являются инвариантами зацеплений и принимают значение 1 на тривиальном узле. Кроме того, каждый из них удовлетворяет соотношению специального вида. Мы перечислим только названия полиномов и определяющие их соотношения. [20]
Если множество индексов состоит из п 1 элемента, то, положив у - qn 1, мы получаем полином ХОМФЛИ. При п 1 подстановка q ft дает полином Джонса. [21]
 |
Простейшие альтерниро - [ IMAGE ] Простейший. [22] |
В качестве гипотезы оно просуществовало до 1987 г. и было решено японским математиком К. Му-расуги благодаря новому мощному инварианту узлов - полиному Джонса. [23]
Эта комбинаторная задача весьма проста, но требует перебора большого числа различных вариантов; ее решение мы обсуждать не будем. После того как это сделано, нужно вычислить полиномы Джонса узлов, соответствующих полученным диаграммам. Если двум диаграммам соответствует один и тот же полином Джонса, можно попытаться доказать эквивалентность соответствующих диаграммам узлов с помощью преобразований Рейдемейстера. [24]
Нами выдвигалась гипотеза, что из структуры многообразий подскоков при п 2 можно извлечь полиномы Джонса и ХОМФЛИ, но Ле Ты Куок Тханг, исследовав эти многообразия для дополнений к узлам с двумя мостами, показал, что структура этих многообразий значительно сложнее. В настоящее время проблема нахождения классического алгебро-топологического изложения полинома Джонса остается открытой. [25]
Она была решена лишь с помощью нового сильного инварианта - полинома Джонса [ R. [26]
Легко установить, что зацепления, изображенные на рис. 3.16, не изотопны. Поэтому мы получаем пример двух зацеплений, которые нельзя различить с помощью полинома Джонса. Причиной столь неприятного факта служит поведение полинома Джонса при неоднозначной операции связной суммы зацеплений. Для узлов этот трюк применить нельзя, но можно применить весьма похожий трюк, как это видно из следующей задачи. [27]
Отметим, что из соотношения Ik ( J, К) - 0 не следует неза-цепленность кривых J и К. Например, две пары кривых, изображенных на рис. 15.6, зацепленные ( это можно доказать, вычислив полиномы Джонса двух зацеплений, образованных этими кривыми), но их коэффициенты зацепления равны нулю. [28]
В противоположность полиному Джонса потребовалось весьма много времени, чтобы инварианты Васильева ( иногда их называют инвариантами конечного типа) стали известны достаточно широкому кругу математиков. И это несмотря на то, что оригинальная работа Васильева была опубликована по-английски с полными доказательствами сразу же после того, как она была завершена ( [ Vas 1 ], 1990), причем с самого начала было ясно, что эти инварианты сильнее полинома Джонса от одной переменной и их можно обобщить и на другие объекты. [29]
Составив таблицы простейших нетривиальных узлов, он особо отметил некоторые свойства альтернированных узлов, у которых при обходе некоторой их диаграммы проходы сверху и снизу чередуются. С помощью полинома Джонса Кауффман и Мураками доказали, что для неприводимых ( т.е. не разлагающихся в связную сумму двух нетривиальных узлов, лежащих в непересекающихся шарах; общий вид приводимых узлов см. на рис. 74) альтернированных узлов число пересечений альтернированной неприводимой диаграмме равно разности между максимальной и минимальной степенями t в полиноме Джонса J ( t t -) и, как следствие, является топологическим инвариантом. [30]
Страницы: 1 2 3