Cтраница 3
Легко установить, что зацепления, изображенные на рис. 3.16, не изотопны. Поэтому мы получаем пример двух зацеплений, которые нельзя различить с помощью полинома Джонса. Причиной столь неприятного факта служит поведение полинома Джонса при неоднозначной операции связной суммы зацеплений. Для узлов этот трюк применить нельзя, но можно применить весьма похожий трюк, как это видно из следующей задачи. [31]
Эта комбинаторная задача весьма проста, но требует перебора большого числа различных вариантов; ее решение мы обсуждать не будем. После того как это сделано, нужно вычислить полиномы Джонса узлов, соответствующих полученным диаграммам. Если двум диаграммам соответствует один и тот же полином Джонса, можно попытаться доказать эквивалентность соответствующих диаграммам узлов с помощью преобразований Рейдемейстера. [32]
Стандартный метод заключается в использовании инвариантов, т.е. алгебраических объектов ( например, чисел или полиномов), сопоставляемых диаграмме узла таким образом, чтобы сопоставляемый объект не изменялся при изотопии узла. В таком случае две диаграммы с разными значениями инварианта соответствуют разным узлам. Этот метод эффективен лишь в том случае, когда инвариант вычисляется достаточно просто. Построение полинома Джонса мы начнем с того, что сопоставим каждой диаграмме L неориентированного зацепления полином ( L), предложенный Луисом Кауфманом. [33]
Сначала R используется для определения представления группы кос р: В - V по естественной формуле p ( bi) Ri, где bi суть стандартные образующие группы Вп. Эта формула действительно задает представление именно потому, что определяющие соотношения группы кос совпадают с уравнениями (32.1), определяющими операторы Янга-Бакстера. Легко показать ( используя теорему Маркова, § 6), что число T ( L) корректно определено и действительно является инвариантом зацеплений. В частности, если простая алгебра Ли, с которой мы начали, есть б1 ( 2 Е), тогда инварианты Джонса ( численные значения полиномов Джонса) могут быть получены таким образом. [34]