Cтраница 3
С помощью соотношения ( 72), связывающего коэффициенты Клебша - Гордана с полиномами Хана, можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов, вытекающих из соответствующих свойств полиномов Хана. [31]
Формулы ( 59), ( 64) и ( 65) позволяют вычислить матричные элементы о-ператоров / С, Кз в базисе Ч т на основе известных свойств полиномов Хана от мнимого аргумента. [32]
Следующие из названных нами функций - коэффициенты Клебша - Гордана, которые осуществляют разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений группы 50 ( 3) на неприводимые компоненты, - можно выразить через полиномы Хана. В свою очередь, 6 / - символы Вигнера, возникающие при разложении тензорного произведения трех неприводимых представлений группы 50 ( 3), приводят к полиномам Рака. [33]
Классических ортогональных полиномов дискретной пере менной получается из свойства ортогональности для произвольных ортогональных полиномов в результате замены определенного интеграла на сумму, то при соответствующем определении скалярного произведения ( t / n, ym) для полиномов Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье сохраняются все общие свойства, присущие произвольным ортогональным полиномам. [34]
Так как свойство ортогональности ( 27) для классических ортогональных полиномов дискретной переменной получается из свойства ортогональности для произвольных ортогональных полиномов в результате замены определенного интеграла на сумму, то при соответствующем определении скалярного произведения уп, j / m) для полиномов Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье сохраняются все общие свойства произвольных ортогональных полиномов. [35]
Отметим асимптотические свойства коэффициентов Клебша - Гордана. Для полиномов Хана Лп ( ар) (, N) справедлива асимптотическая формула ( см. ( 57а) гл. [36]
На основе разработанного авторами простого подхода построена теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках. Частными случаями изученных семейств полиномов оказываются полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье ( линейная сетка), полиномы Рака и дуальные полиномы Хана ( квадратичная сетка), а также полиномы Поллачека. В компактной форме излагаются их основные свойства. [37]
Существует простой прием, который позволяет включить в рассмотренную выше схему построения теории классических ортогональных полиномов дискретной переменной еще некоторые семейства полиномов. В § 3 было доказано свойство ортогональности полиномов Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье на дискретном множестве точек. Если при помощи теоремы о вычетах сумму в соотношении ортогональности ( 27) записать в виде контурного интеграла, а затем распрямить контур в комплексной плоскости, то в некоторых случаях после аналитического продолжения по параметру на прямой, параллельной мнимой оси, возникает система полиномов, ортогональных относительно непрерывной меры. [38]
В квантовой теории момента количества движения центральное место занимает задача о сложении двух моментов, которую решают с помощью коэффициентов Клебша - Гордана. В настоящем параграфе эти коэффициенты будут выражены через полиномы Хана, изученные ранее в гл. [39]
Основные свойства коэффициентов Клебша - Гор-дана. Формулы ( 36) и ( 37) позволяют провести аналогию между основными свойствами коэффициентов Клебша - Гордана и полиномов Хана. [40]
На основе разработанного авторами простого подхода построена теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках. Частными случаями изученных семейств полиномов оказываются полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье ( линейная сетка), полиномы Рака и дуальные полиномы Хана ( квадратичная сетка), а также полиномы Поллачека. В компактной форме излагаются их основные свойства. [41]
Тем самым действие инфинитезималъных операторов J, К на базис Гельфанда - Цетлина ( 54) получено с помощью изученных ранее свойств полиномов Хана. Обратно, исходя из формул, задающих действие операторов J и К на базис ( 54), можно дать теоретико-групповую интерпретацию основным свойствам полиномов Хана. [42]
Четвертая, пятая и шестая главы посвящены приложениям. В четвертой главе основные величины теории представлений трехмерной группы вращений - обобщенные сферические функции, коэффициенты Клебша - Гордана и 6 ] - символы Вагнера - выражены через полиномы Кравчука, Хана и Рака соответственно, что позволяет в простой форме изложить свойства этих величин. Так как полиномы Хана - разностные аналоги полиномов Якоби, то соотношение между коэффициентами Клебша - Гордана и полиномами Хана объясняет аналогию между этими коэффициентами и полиномами Якоби, замеченную И. М. Гельфандом еще в середине 50 - х годов. [43]
Согласно формуле ( 65) данные коэффициенты Клебша-Гордана можно выразить через полиномы Хана. [44]
Четвертая, пятая и шестая главы посвящены приложениям. В четвертой главе основные величины теории представлений трехмерной группы вращений - обобщенные сферические функции, коэффициенты Клебша - Гордана и 6 ] - символы Вагнера - выражены через полиномы Кравчука, Хана и Рака соответственно, что позволяет в простой форме изложить свойства этих величин. Так как полиномы Хана - разностные аналоги полиномов Якоби, то соотношение между коэффициентами Клебша - Гордана и полиномами Хана объясняет аналогию между этими коэффициентами и полиномами Якоби, замеченную И. М. Гельфандом еще в середине 50 - х годов. [45]