Cтраница 2
Шредингером сформулированы основные математические положения, относящиеся к введенной им функции Ч, разработаны многие разделы квантовой механики, в частности теория возмущений. Свои главные работы по квантовой механике он опубликовал в 1925 - 1926 гг.; в 1928 г. был избран почетным членом АН СССР; в 1929 г. ему была присуждена Нобелевская премия по физике. [16]
В последнее время широко практикуется для изучения затрат рабочего времени метод моментных наблюдений. Основу метода моментных наблюдений составляют математические положения теории вероятности. Согласно общему правилу, вероятность повторения того или иного элемента во времени в период наблюдения прямо пропорциональна его продолжительности и обратно пропорциональна длительности наблюдения. Этот метод имеет определенные преимущества по сравнению с методом непосредственных замеров. [17]
Мы не очень строго и неполно изложили математических положений, к которым надо привыкнуть. [18]
Мы не очень строго и неполно изложили ряд математических положений, к которым надо привыкнуть. [19]
Такое выполнение возможно четырьмя способами: кубами ( три-параллелоэдрами), кубооктаэдрами ( гептапараллелоэдрами), додекаэдрами ( гексапараллелоэдрами) и призмами ( тетрапараллелоэдрами), а также деформированием этих основных многогранников-параллелоэдров. Когда была решена эта задача, явилась возможность применить чисто математические положения к кристаллам. Если мыслить кристалл состоящим из многогранников, то мы должны представить, что он может быть составлен из додекаэдров, кубов, октаэдров, призм и их деформаций. [20]
Внутреннее правдоподобие зависит от метода исследования. Если бы исследование проводилось на чисто дедуктивном уровне, исходя только из определенных теоретических и чисто математических положений, то внутреннее правдоподобие было бы максимально возможным. Во всяком же прикладном практическом исследовании, когда применяются упрощения при описании системы и уравнения системы преобразуются без полного дедуктивного обоснования, внутреннее правдоподобие соответственно понижается. [21]
Гаусс открыло выражал свое мнение о том, что аксиомы геометрии jne имеют никакого превосходства по сравнению с законами физики, и то и другое представляет собой формулировку опыта, причем математические положения выражают общие законы движения твердых тел и условия для измерений в пространстве. [22]
Предмет, излагаемый в этой книге, не может обсуждаться без привлечения некоторых математических методов, которые обычно недоступны инженеру. Вместо того чтобы ограничиться демонстрацией математических истин в процессе их скучного приложения ( практика, которая безуспешно пытается игнорировать тот ясный факт, что математический аппарат следует изучать сначала, а не потом), мы предпочли разъяснять необходимые математические положения в самом тексте по мере того, как в них возникает потребность. Кроме того, мы будем обращаться к математике, не заботясь ни о формальной строгости, ни о полноте наших рассуждений, а пытаясь привести читателя наиболее простым путем к пониманию основных понятий и помогая ему, если нужно, постигнуть искусство применения алгоритма. [23]
При синтезе оптимальных управлений для нелинейных объектов используется много новых приемов и способов качественного исследования процессов, базирующихся на условии общности положения, качественной теории дифференциальных уравнений и анализе функциональных матриц. Автор не профессиональный математик, поэтому он уверен, что изложение материала по синтезу оптимальных управлений для нелинейных объектов не лишено недостатков математического плана. В книге не замалчиваются спорные вопросы и недоказанные математические положения, поэтому автор надеется, что книга будет интересна и математикам. [24]
В этой книге сделана попытка так изложить теоретическую физику, чтобы предварительные математические знания учащегося сводились к минимуму. Сюда входят только элементы анализа бесконечно малых, начатки аналитической геометрии и векторная алгебра. По ходу изложения сообщаются основные сведения из векторного анализа, алгебры матриц, тензоров и спиноров и немного - о шаровых функциях. Эти математические положения содержатся частично в основном тексте, частично в упражнениях, где соответствующие задачи снабжены решениями, отличающимися от учебного текста большей сжатостью изложения. Такими решениями сопровождаются и многие физические задачи. Всегда спорен вопрос о выборе убедительнейшего способа изложения. [25]
Что касается многочисленных отступлений, которые отражают точку зрения автора, сложившуюся в результате долгого общения с математиками и большого опыта математических исследований, то читатель, не согласный с ней, должен помнить, что автор вовсе не старается обратить его или кого-нибудь другого в свою веру, а лишь стремится создать хорошую атмосферу для дискуссии. Если удастся сделать читателя своим единомышленником - тем лучше, но это должно произойти только на основе его собственных убеждений. Атмосфера свободных дискуссий и критики весьма существенна в математике, хотя крайне трудно создать ее, оставаясь в рамках самой этой науки. Самое главное, чтобы читатель не принимал на веру ни одно из математических положений, если он желает когда-нибудь овладеть им. [26]
Необоснованная надежда выиграть один из главных выигрышей является единственной причиной такого спроса. Самые трезвые люди не считают безумием уплатить небольшую сумму за шанс выиграть десять или двадцать тысяч фунтов, хотя они знают, что даже эта небольшая сумма, может быть, на двадцать или тридцать процентов превышает ту стоимость, которую представляет шанс на выигрыш. В лотерее, в которой ни один выигрыш не превышал бы 20 фунтов, спрос на билеты был бы меньше, хотя бы эта лотерея в других отношениях была гораздо справедливее и честнее, чем обычные государственные лотереи. Чтобы заручиться большими шансами на получение одного из крупных выигрышей, некоторые люди покупают по нескольку билетов, а другие - мелкие доли еще большего количества их. Однако одно из наиболее достоверных математических положений состоит в том, что чем больше билетов вы рискуете приобрести, тем скорее вы окажетесь в проигрыше. [27]
Закон о правовом действии, в котором участвуют разные лица, одинаково относится к любому лицу, и если в формулировке закона то или иное лицо должно именоваться чаще, было бы целесообразно различить их при помощи букв. Обычные для английского права формулы the first party, the second party 6 отличаются от буквенных обозначений только своей тяжеловесностью. Они становятся невыносимыми, когда, например в математическом доказательстве, это произвольное число встречается не четыре, а двести раз. Применение букв для обозначения точек геометрической фигуры - причем некий данный треугольник АВГ понимается как какой угодно треугольник ( переменные точки) - было известно греческим математикам. То обстоятельство, что они всегда обозначали буквами только геометрические, а не неопределенные числа, связано с геометризацией алгебры, которую они были вынуждены провести после открытия несоизмеримого отношения отрезков. Диофант же постоянно пользуется буквой f для обозначения неизвестной. Хотя благодаря этому стало возможным оперировать формулами, не пользуясь для связи между ними словами, было бы ошибкой утверждать, что на достигнутой стадии формулировка математических положений больше не нуждается в словах. Если полностью выразить словами приведенную выше формулу а b b а, то она будет означать следующее: если а, Ъ - какие-нибудь два числа, то существует отношение и Ъ Ъ а. Перед молодыми студентами-математиками мы каждый раз заново испытываем потребность настоятельно внушить им, чтобы они не забывали слов, сопровождающих формулы и впервые наделяющих их смыслом. В этом примере буква / означает произвольную функцию ( если точки и числа, обозначаются буквами, почему бы нельзя то же самое сделать с функциями. [28]