Cтраница 3
Полугруппа с единицей называется моноидом. Наряду со свободной полугруппой А над алфавитом А часто рассматривают свободный моноид А ( А) над А, в котором 1 называют пустым словом. [31]
Полугруппа будет регулярной тогда и только тогда, когда для любого ее левого идеала L и любого правого идеала R имеет место RL Rf ] L. Следующие условия для полугруппы 5 эквивалентны: ( 1) S регулярна и унипотентна, ( 2) S регулярна и удовлетворяет закону сокращения, ( 3) 5 есть группа. [32]
Полугруппа называется сжимающей, если М I. Почти все полугруппы, имеющие практическое значение, оказываются сжимающими ц для ннх справедливо следующее важное утверждение ( Хнлле, Носила), позволяющие ответить на фундаментальным вопрос: в каких случаях оператор порождает сжимающую полугруппу. [33]
Полугруппа С тогда и только тогда будет однопо-кръ: яающим элементом решетки Sub С, когда С - монотонная полугруппа, либо бесконечная, либо имеющая ин. S периодична тогда и только тог. SubS каждому элементу предшествует ат -: мл; 2 полугруппа S идем патентна тогда и только тогда, когда всякий однслокпывагощий элемент есть атом. Sub Т - SubS, всегда следует, что / 63 СЛИ для любой полугруппы Т из Sub Г - c SubS г.. T - S, то полугруппа 5 называется решсточно определяющейся. Разумеется, любой аб-стр - ктный класс, состоящий из рсшеточно определяю - 1Ц хея полугрупп, рсигето ию замкнут. FI без идемпотектов (, частности, всякая свсбодпая и всякая свободная ком. Появление здесь антиизоморфизмов объясняется тетл, что если полугруппа Т антиизо-морфча полугруппе S, то всякий антиизоморфизм ( резко как и изоморфизм) S на Т индуцирует решеточный изоморфизм данных полугрупп. Иногда про-исхэдит индуцируемость отобрахссмиями более общего типа - полуизоморфизмами. [34]
Полугруппа, заданная непредставлением без левых правых ] циклоп, будет с левым [ правым ] сокращением. [35]
Полугруппа 5 инверсна тогда и только тогда, когда в ней каждый - класс и каждый 52-класс содержит единственный идемпотент. D Зе-класс Н0 - i расположен симметрично к На относительно главной диагонали. [36]
Полугруппа называется простой слева [ справа ], если она не содержит собственных левых [ правых ] идеалов. Для полугрупп с нулем упомянутые понятия бессодержательны, здесь нужно иметь дело с ненулевыми идеалами. Если полугруппа 5 S не содержит ненулевых идеалов, то либо S2 S, либо 5 есть двухэлементная полугруппа с нулевым умножением. Полугруппа S - S называется Q-простой [ 0-простой слева, Q-простой справа ], e j - H о2 - 0 и S не одержит ненулевых двусторонних ( лезь:, правы: - ] идеалов. Полугруппа 5 5 будет 0-нростой тогда и только тогда, когда SaS - S для любого ненулевого элемента а е - S. Если к простой с. Таким образом, рассмотрения обоих типов полугрупп полностью параллельны и достаточно изучать только простые слева полугруппы. То же, конечно, относится к простым справа и 3 - т7роет:: 1 епрдса полугруппам. [37]
Полугруппа называется конгрузнц-простой ( или кокгруэнц - свободной ], если ее конгруэнции исчерпываются отношениями Д и V; конгруэнц-простые полугруппы называют иногда просто простыми. Всякая простая слеза [ справа ] полугруппа бипроста. [38]
Полугруппа называется слабо редуктивной, если у нее нет различных равнодействующих элементов. Всякая регулярная полугруппа слабо редуктивна, всякая инверсная полугруппа редуктивна. Всякая слабо редуктивная глобально идемпотентная полугруппа разложима в подпрямое произведение редуктивной справа и редуктивной слева полугрупп. [39]
Полугруппа называется ff - тривиальной, если на ней отношение Грина / совпадает с с-ношсиием равенства. [40]
Полугруппа / ( /), безусловно, имеет своим генератором оператор АР. Отметим, что она наследует такие свойства полугруппы Т () как компактность, дисснпативность и самосопряженность. [41]
Полугруппа, для которой выполняется условие (3.9) при М 1, называется сжимающей. [42]
Полугруппа называется диссипативной, если диссипативен ее генератор. [43]
Полугруппы с инволюцией составляют, следовательно, многообразие, содержащее в себе многообразие всех инверсных полугрупп. [44]
Полугруппа ( Т ( t) t 0, удовлетворяющая условиям (2.58) и (2.59), иногда называется квазисжимающей. [45]