Cтраница 1
Замкнутое полупространство, которое содержит М, называется опорным к М, если хотя бы одна точка множества М принадлежит его границе. Гиперплоскость, которая является 1раницей опорного полупространства, называется опорной гиперплоскостью. [1]
Поэтому произвольное замкнутое полупространство, содержащее С, задается вектором ( х, и, ), х Ф - 0, предельным для множества векторов из / С - С другой стороны, сами векторы из К. [2]
Тогда существует замкнутое полупространство, содержащее С. [3]
Нт - замкнутые полупространства, пересечение которых есть множество С, и С - непустой фасад множества С. [4]
Ct являются замкнутыми полупространствами. [5]
Так как каждое замкнутое полупространство является выпуклым множеством, то в силу теоремы 1.1 пересечение любого семейства замкнутых полупространств также является замкнутым выпуклым множеством. Из упоминаемой ниже теоремы 1.8 вытекает, что справедливо и обратное: каждое замкнутое выпуклое множество Mc R представляется в виде пересечения некоторого семейства замкнутых полупространств. [6]
Опорная функция описывает все замкнутые полупространства, которые содержат С. [7]
Следует отметить, что замкнутое полупространство не является острым конусом, поскольку вместе с ненулевым вектором х, удовлетворяющим равенству ( с, х) 0, содержит и вектор - х, так как умножение указанного равенства на - 1 не нарушает его выполнение. [8]
Действительно, рассмотрим все замкнутые полупространства, содержащие замкнутое выпуклое множество М, и обозначим через М пересечение всех этих полупространств. Тогда в силу третьего утверждения теоремы 29.5 найдется замкнутое полупространство, содержащее М и не содержащее точки D. [9]
D лежит на границе замкнутого полупространства, содержащего С. [10]
Сгруппируем вместе все параллельные друг другу замкнутые полупространства, содержащие непустое X, и заметим, что их пересечение есть замкнутое полупространство ( того же направления), ограниченное опорной к X гиперплоскостью. [11]
Я г, ( и) замкнутое полупространство ввиду опорного свойства гиперплоскости Ai ( u) - дН ( и) по отношению к Kt, не может содержать К. [12]
Наряду с открытыми полупространствами нередко рассматривают и замкнутые полупространства. [13]
Следовательно, конус Qt целиком расположен в одном замкнутом полупространстве, определяемом гиперплоскостью Г, и потому гиперплоскость Г отделяет конусы Ш и Qt, а это противоречит предположениям. [14]
В силу лемм 7.2 и 7.3 г должна лежать па границе замкнутого полупространства, содержащего х и D, что невозможно. [15]