Cтраница 2
Гиперплоскость G / - с) разбивает все пространство на два замкнутых полупространства E f - c ] и E f c, на которых функционал / ( х) принимает соответственно значения, не меньшие чем с и не большие чем с. Гиперплоскость 0 / с) принадлежит при этом обоим полупространствам. [16]
Присоединяя к открытому полупространству гиперплоскость ( 3), мы получим так называемое замкнутое полупространство. [17]
Вообще говоря, кроме полупространств, соответствующих векторам из S, имеются и другие замкнутые полупространства, содержащие множество С. [18]
Каждое из множеств HI П [ U Г, П2 П2 U Г называется замкнутым полупространством. [19]
В силу теоремы точка принадлежит cl С тогда и только тогда, когда она лежит в любом замкнутом полупространстве, содержащем cl С. Поэтому совокупность замкнутых полупространств, содержащих cl С, не может быть пуста. [20]
Замыкания множеств Et и Е2, совпадающие соответственно с Е U Н и Ez U HI называют замкнутыми полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Я. [21]
Для дальнейшего существенно отметить, что предположение о непрерывности и ( х, у, t) в замкнутом полупространстве лг О, которое использовалось в намеченном здесь доказательстве единственности, может быть ослаблено. [22]
Сгруппируем вместе все параллельные друг другу замкнутые полупространства, содержащие непустое X, и заметим, что их пересечение есть замкнутое полупространство ( того же направления), ограниченное опорной к X гиперплоскостью. [23]
Два множества А и В в Б разделимы, если существует гиперплоскость Р, такая, что А находится в одном замкнутом полупространстве, определяемом этой гиперплоскостью Р, а В - в другом. [24]
Доказать, что замкнутое выпуклое тело / СсгЛ, не являющееся выпуклой оболочкой своей границы, есть или все А, или замкнутое полупространство. [25]
Легко видеть, что в случае линейной выпуклости конусы Ki и / ( г, удовлетворяющие этим условиям, обязательно будут двумя замкнутыми полупространствами, определяемыми одной гиперплоскостью. Таким образом, d - отделимость является обобщением обычной отделимости для линейно-выпуклых множеств. [26]
Выпуклые множества MI, M2czRn называются отделимыми, если существует такая гиперплоскость Гс: Кп, что множество MI расположено в одном, а М2 - в другом замкнутом полупространстве, определяемом гиперплоскостью Г; сама гиперплоскость Г называется отделяющей гиперплоскостью. [27]
Выпуклые множества W, W2 cr Ea называются отделимыми, если существует такая гиперплоскость Н с: Еа, что множество Wi расположено в одном, a W2 - в другом замкнутом полупространстве, определяемом гиперплоскостью Я; сама гиперплоскость Н называется отделяющей гиперплоскостью. Далее, выпуклые множества W WzcEc, называются сильно отделимыми, если для них существует такая отделяющая гиперплоскость Н, что множества Wi и W2 содержатся в соответствующих открытых полупространствах. [28]
Мы будем говорить, что гиперплоскость Я разделяет С и С2 ( или отделяет d от С2), если Ci содержится в одном из замкнутых полупространств, порожденных Я, а С2 лежит в противоположном замкнутом полупространстве. Говорят, что Я собственно разделяет d и С2, если при этом хотя бы одно из множеств не содержится целиком в Я. Наконец, мы будем говорить, что Я сильно ( или строго) разделяет Ci и С2, если существует е 0, такое, что Cj eB содержится в одном из открытых полупространств, порожденных Я, а С2 еВ - в другом открытом полупространстве. Kn x l - единичный шар евклидова пространства. [29]
Обобщение понятия касательной связано с опорными гиперплоскостями и полупространствами. Замкнутое полупространство, содержащее С, называется опорным к С, если хотя бы одна точка множества С принадлежит его границе. Гиперплоскость, являющаяся границей опорного к С полупространства, называется гиперплоскостью, опорной к С. [30]