Cтраница 4
С другой стороны, если последнее условие выполнено, то Ci sB и С2 е5 в соответствии с предыдущей теоремой можно разделить собственно. Поскольку ъВ е 5 е 5 для е е / 2, множества ( С4 е В) е В и ( С2 ъ В) е В принадлежат противоположным замкнутым полупространствам, и потому Ci ъ В и С2 & В лежат в противоположных открытых полупространствах. [46]
Так как среди kjVi Ns есть по крайней мере одно строго положительное, то хотя бы одна из точек Г ( у) лежит в открытом полупространстве ух 0, а остальные лежат в замкнутом полупространстве ух О. Достаточность условия теоремы доказывается полностью в обратном порядке. [47]
Это следствие было усилено Фангом и Миксом. Тогда эти концы лежат в непересекающихся замкнутых полупространствах и все другие кольцевые концы являются плоскими и параллельными границе этих полупространств. [48]
Ограничения ( 8 - 3) определяют допустимое множество Z, на котором должна максимизироваться линейная целевая функция. Каждое из линейных неравенств ( 8 - 2) определяет замкнутое полупространство. Отсюда Z, будучи пересечением конечного числа замкнутых полупространств, является замкнутым выпуклым множеством с конечным числом крайних точек. [49]
Пусть полупространство Р ( откры-тое или замкнутое) является d - выпуклым. Пусть теперь гиперплоскость L является d - выпуклой; предположим при этом, что замкнутое полупространство Р не является d - выпуклым. [50]
Теорема 5.8. Грани многогранного множества Р, имеющего размерность I, сами являются многогранными множествами - Пересечение двух таких граней либо пусто, либо само есть грань Р и является общей гранью для каждой из этих двух граней. В случае I 2 каждая ( I - 2) - мерная грань Р принадлежит ровно двум различным ( I - 1) - мерным граням. Каждая ( I - I) - мерная грань Р является пересечением Р с одной из гиперплоскостей, которые ограничивают определяющие Р замкнутые полупространства. [51]